В квантовой теории поля Фейнмановские диаграммы и их соответствующие правила играют ключевую роль в вычислениях амплитуд процессов взаимодействия частиц. Эти диаграммы позволяют визуализировать и систематизировать различные вкладки в расчётах, что особенно важно при работе с высокой энергией или в ситуациях, когда необходимо учитывать сложные взаимодействия между полями.
Правила Фейнмана представляют собой набор инструкций для построения амплитуды взаимодействия в терминах диаграмм, которые соответствуют различным вкладкам в ряд разложения в теории возмущений. Эти правила описывают как переходить от исходных полей и взаимодействий, описанных в лагранжиане или гамильтониане теории, к выражениям для амплитуд переходов.
Для начала рассмотрим лагранжиан поля, из которого извлекаются правила для взаимодействий. В самой общей форме лагранжиан для скалярного поля может быть записан как:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left( \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2 \right) + \mathcal{L}_\text{взаимодействия} $$
Где ϕ — скалярное поле, m — его масса, а ℒвзаимодействия — термин, отвечающий за взаимодействия с другими полями (например, взаимодействие через другие скалярные или фермионные поля).
Существует несколько типов взаимодействий, включая:
Правила Фейнмана в импульсном представлении применяются для вычисления амплитуды перехода между состояниями поля, используя взаимодействие в импульсной области.
Для каждого типа взаимодействия существует несколько базовых правил, которые связывают элементарные взаимодействия с соответствующими элементами диаграмм Фейнмана.
Вершины: Каждое взаимодействие в поле представлено вершиной в диаграмме Фейнмана. Вершины всегда соответствуют числу, равному коэффициенту перед соответствующим взаимодействием в лагранжиане.
Для скалярного взаимодействия, например, вершина будет пропорциональна λ, где λ — константа, регулирующая силу взаимодействия:
$$ \mathcal{L}_\text{взаимодействия} = \frac{\lambda}{4!} \phi^4 $$
Для каждого типа взаимодействия (например, ϕ4-теория, электромагнитное взаимодействие, взаимодействие через W-бозоны) существует свой набор правил для вершин.
Пропагаторы: Пропагатор — это элемент, который связывает два взаимодействующих состояния в диаграмме Фейнмана. Для каждого поля существует свой пропагатор:
$$ \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon} $$
где p — импульс частицы, m — её масса, и ϵ — инфинитезимальная величина, которая используется для обеспечения правильного обращения в теории.
$$ \frac{-i \eta_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon} $$
где ημν — метрический тензор пространства-времени, а q — импульс фотона.
Линии диаграмм: Линии диаграмм Фейнмана представляют собой частицы, которые передают импульс и взаимодействуют между собой. Эти линии могут быть прямыми или изогнутыми, в зависимости от типа поля (скалярное, векторное, фермионное и т.д.).
Процесс построения амплитуды из диаграмм Фейнмана включает несколько шагов:
Построение диаграмм: Для конкретного процесса взаимодействия необходимо построить все возможные диаграммы Фейнмана, которые могут описывать этот процесс. Каждая диаграмма будет включать линии пропагаторов и вершины, соответствующие взаимодействиям.
Назначение факторов: Для каждой линии диаграммы назначается пропагатор, а для каждой вершины — фактор, соответствующий взаимодействию. Пропагаторы и вершины должны быть выбраны в зависимости от типа взаимодействующих полей.
Суммирование всех диаграмм: Амплитуда перехода для данного процесса определяется как сумма всех возможных диаграмм Фейнмана, которые могут внести вклад в этот процесс.
Интеграция по импульсным переменным: Для вычисления физического результата нужно интегрировать по всем возможным импульсам частиц, участвующих в процессе.
Для этого используют интегралы вида:
$$ \int \frac{d^4 p}{(2\pi)^4} $$
где p — импульс частиц в процессе взаимодействия.
Правила Фейнмана в импульсном представлении широко применяются в вычислениях, связанных с:
С помощью этих правил можно точно вычислять амплитуды взаимодействий и, в конечном итоге, предсказывать результаты экспериментов в области элементарных частиц.