Размерная регуляризация является важным методом в квантовой теории поля (КТП) для борьбы с бесконечностями, возникающими при вычислениях амплитуд рассеяния и других физических величин. Этот метод используется для изменения схемы теории таким образом, чтобы она стала конечной, и затем производится возврат к физическому измерению, из которого можно извлечь значимые результаты.
Размерная регуляризация заключается в том, что все физические величины (например, параметры поля и взаимодействий) задаются в зависимости от определенной размерности пространства-времени D, которая не обязательно должна быть целым числом. В такой постановке пространственно-временной размерности становятся продолженными, что позволяет ввести регуляцию интегралов, возникающих при вычислениях диаграмм Фейнмана, путем корректировки этих интегралов в гиперпространстве с произвольной размерностью.
Метод был разработан для того, чтобы избежать дивергенций, возникающих при рассмотрении интегралов по внутренним моментам. Такие дивергенции, как правило, характеризуются бесконечными интегралами в четырехмерном пространстве, где возникают расходимости в расчетах взаимодействий.
Введение размерной зависимости в интегралы: Прежде чем приступить к вычислениям, размерность пространства-времени D принимается как нецелое число, что позволяет преобразовать расходимости в интегралах по моментуму во время расчета диаграмм Фейнмана.
Использование гамма-функции: Когда пространство-время существует в размерности D, все необходимые интегралы имеют вид, в котором используется гамма-функция. Эта функция является удобным инструментом для анализа поведения интегралов на малых и больших моментах.
Вычисления с определением схемы: Проводится расчет амплитуды рассеяния, где рассматривается зависимость от размерности пространства-времени. Это дает возможность избежать проявлений сингулярностей в расчетах.
Переход к исходной размерности: После того как все необходимые вычисления выполнены, возвращаются к физической размерности D = 4, в которой описываются реальные физические процессы, с учетом изменений, вызванных размерной регуляризацией.
Преимущества:
Отсутствие необходимости в прямом введении дополнительных параметров: В отличие от других методов регуляризации, таких как регуляция с помощью мещанцев (физической массы), размерная регуляризация не требует введения дополнительных параметров в теорию, что сохраняет ее внутреннюю консистентность.
Удобство аналитических вычислений: Размерная регуляризация предоставляет удобную схему для выполнения аналитических расчетов, поскольку она использует стандартные математические функции, такие как гамма-функции, что значительно упрощает работу с диаграммами Фейнмана.
Использование в различных теоретических контекстах: Размерная регуляризация может быть применена не только в КТП, но и в других областях физики, например, в теории поля и статистической физике.
Недостатки:
Проблемы с интерпретацией: Поскольку размерность D является вещественным числом, возвращение к целочисленной размерности после вычислений может привести к вопросам по поводу физической интерпретации результатов.
Невозможность учета некоторых физических эффектов: Размерная регуляризация, как и другие методы, не всегда позволяет точно учитывать эффекты, связанные с конечными размерами системы, например, в контексте конденсации или малых масштабов.
Размерная регуляризация имеет тесную связь с другими подходами к регуляризации, такими как регуляризация с помощью временных методов или регуляризация с использованием жестких сечений. Однако метод размерной регуляризации отличается тем, что он позволяет сохранить универсальность в работе с пространственно-временными структурами, что может быть полезно в теоретических исследованиях, включая квантовую гравитацию.
Кроме того, метод размерной регуляризации используется в контексте схемы renormalization group (RG), где важно учитывать поведение теории при изменении масштаба. Для теории, которая принимает пространственно-временные измерения, различающиеся от 4, это может быть важным аспектом в анализе взаимодействий на различных масштабах.
Примером использования размерной регуляризации является её применение в квантовой электродинамике (КЭД) и квантовой хромодинамике (КХД). В этих теориях метод позволяет уменьшить расходимости, возникающие при рассмотрении взаимодействий между полями и частицами, а также использовать гиперпространственные методы для более точных вычислений.
В квантовой электродинамике при расчетах корректных значений для корреляционных функций и амплитуд рассеяния, размерная регуляризация помогает справиться с расходимостями, возникающими при вычислениях, например, в диаграммах Фейнмана второго порядка. Применение этого метода в модели КЭД позволяет точно рассчитать поправки к зарядовому состоянию и магнитному моменту электрона.
Размерная регуляризация является мощным инструментом для решения проблем с расходимостями в квантовой теории поля. Этот метод помогает провести точные вычисления в рамках различных теорий поля и позволяет теоретикам избежать сложных проблем, связанных с бесконечностями, давая возможность работать с теорией в рамках измененной размерности.