Перенормировка является важнейшей частью квантовой теории поля, обеспечивающей ее математическую и физическую согласованность. Задача перенормировки состоит в том, чтобы избавиться от бесконечностей, возникающих в результате вычислений, и вернуть физические величины, такие как масса и заряд, в конечные значения. Этот процесс осуществляется через введение контрчленов, которые компенсируют бесконечности, появляющиеся на разных этапах теоретических вычислений.
В квантовой теории поля, особенно в теориях взаимодействующих полей, на определенных стадиях вычислений возникают бесконечные величины. Эти бесконечности связаны с интегралами по внутренним импульсам в диаграммах Фейнмана. При расчете таких величин возникает необходимость их устранения, чтобы получить физически осмысленные конечные результаты.
Примером является стандартная теория электродинамики (КЭД), где изначально полученные результаты для амплитуды рассеяния содержат бесконечные величины. Эти бесконечности проявляются на различных уровнях — например, в корреляционных функциях или в частных членах лагранжиана.
В квантовой электродинамике (КЭД) перенормировка связана с введением контрчленов для массы фермиона и электромагнитного взаимодействия. Операция перенормировки заключается в замене параметров теории, таких как заряд и масса, на их перенормированные значения, которые соответствуют экспериментально измеренным величинам.
Перенормировка массы фермиона. Это процесс корректировки массы частиц, который учитывает влияние взаимодействий на массу, как на уровне вакуума, так и на уровне внешних полей. В случае, если масса элементарной частицы фиксирована, она может быть выражена как разность между ее истинной массой и бесконечным вкладом контрчлена.
Перенормировка взаимодействия. Взаимодействие между фермионами и фотонами в КЭД также должно быть перенормировано. При этом электрический заряд, который на макроскопическом уровне можно измерить, оказывается функцией изначального “заряда” и поправок, связанных с взаимодействием полей и частиц.
Перенормировочные схемы могут отличаться в зависимости от типа теории. Важнейшими являются схемы с добавлением контрчленов, которые компенсируют бесконечности и приводят к конечным результатам.
Контрчлены — это дополнительные члены в лагранжиане теории, которые добавляются с целью устранить бесконечности, возникающие в процессе расчета. Контрчлены включают в себя параметры, которые компенсируют теоретические разногласия между расчетной и физической величинами.
Контрчлены могут быть:
Линейными контрчленами, которые добавляются непосредственно в лагранжиан, и их величина определяется из расчетов, исходя из детерминированных условий модели.
Нелинейными контрчленами, которые могут появляться в более сложных теориях, где взаимодействия между полями и частицами более многослойны.
Для получения конечных значений амплитуд рассеяния и других физических величин необходимо решить уравнения для контрчленов. Эти уравнения, в свою очередь, могут быть получены как результат регуляризации, в частности, с помощью таких методов, как регуляризация по размерности или регуляризация на основе полей.
Регуляризация играет ключевую роль в устранении бесконечностей. Основной целью регуляризации является замена бесконечно больших интегралов по внутренним импульсам на более управляемые формы, которые можно затем перенормировать.
Одной из наиболее популярных схем регуляризации является регуляризация по размерности, в которой пространство-время рассматривается как пространство с непрерывными переменными, изменяющими свою размерность в зависимости от физической ситуации. Этот метод помогает избежать проблем, связанных с бесконечными интегралами, путем введения регуляризирующего параметра, который затем может быть выведен в предел.
Другие схемы регуляризации включают:
Регуляризация по времени: используется в случае, если система имеет конечное время для наблюдения взаимодействий. В этом случае бесконечности ограничиваются временем наблюдения.
Моментная регуляризация: применяется для замены интегралов по импульсам на дискретизированные суммы, что позволяет избежать бесконечностей на практике.
После регуляризации, чтобы избавиться от оставшихся бесконечностей, используется перенормировка, где контрчлены вводятся для корректировки параметров теории.
Существует несколько типов схем перенормировки, которые можно использовать в зависимости от задачи и модели. Одна из наиболее известных — это схема минимальной перенормировки, при которой контрчлены добавляются так, чтобы сохранить инвариантность теории относительно калибровочных преобразований и другие важнейшие симметрии.
Схема MS (Миенская схема): это схема перенормировки, в которой контрчлены выбираются так, чтобы минимизировать зависимость от параметров, не влияющих на физическую интерпретацию (например, от бесконечных членов). Эта схема широко используется для численных вычислений и в расчетах по квантовой хромодинамике.
Схема $\overline{MS}$: аналогична схеме MS, но с добавлением логарифмических членов, что позволяет добиться большего соответствия экспериментальным данным в высоких энергиях.
Перенормировка и выбор схемы могут существенно влиять на результаты расчетов. Например, в квантовой хромодинамике (КХД) схемы перенормировки должны обеспечивать правильное поведение теории при высоких энергиях, где квантовые эффекты становятся значительными.
В более сложных теориях, таких как теория струн или теория поля в высокой энергии, схемы перенормировки играют важную роль в сохранении внутренней согласованности теорий. В таких теориях возникают дополнительные сложности, связанные с высокими энергиями и с дополнительными степенями свободы.
Например, в теории струн перенормировка требует учета влияния дополнительных измерений и необычных симметрий, что осложняет процесс перенормировки, однако сохраняет физическую согласованность теории в целом.
С развитием высокоэнергетической физики и теории поля, а также с появлением новых теорий, таких как теория квантовых гравитационных полей, проблема перенормировки остается актуальной. Новые подходы и методы, такие как анализ с помощью голографии или использование методов вычислительной физики, позволяют создавать более эффективные схемы перенормировки и улучшать точность расчетов в более сложных физических моделях.
Таким образом, перенормировка и введение контрчленов — это не только математический инструмент, но и ключевой элемент для того, чтобы квантовые теории сохраняли свою физическую состоятельность, соответствуя экспериментальным данным.