Смешивание кварков и матрица Кабиббо-Кобаяши-Маскавы

---

Структура слабого взаимодействия в кварковом секторе

В рамках Стандартной модели слабое взаимодействие описывается через калибровочную группу SU(2)_L × U(1)_Y. Левые компоненты фермионов объединяются в SU(2)-дублеты, тогда как правые являются синглетами. Это особенно важно в кварковом секторе, где слабые токи действуют не только в рамках одного поколения, но и смешивают поколения кварков.

Пусть обозначим кварковые поля следующим образом:

• дублеты левых кварков: $Q_L^{(i)} = \begin{pmatrix} u_L^{(i)} \\ d_L^{(i)} \end{pmatrix}$,
• синглеты правых кварков: u_R⁽ⁱ⁾, d_R⁽ⁱ⁾, где i = 1, 2, 3 — номер поколения.

Лагранжиан слабого взаимодействия через заряженные токи имеет вид:

$$ \mathcal{L}_\text{CC} = -\frac{g}{\sqrt{2}} \sum_{i} \bar{u}_L^{(i)} \gamma^\mu d_L^{(i)} W^+_\mu + \text{h.c.} $$

Однако массы кварков не диагональны в базисе слабого взаимодействия, что приводит к необходимости перехода к собственным состояниям массы.

Диагонализация кварковых масс

Массовые члены для кварков возникают из лагранжиана Юкавы при спонтанном нарушении электрослабой симметрии:

ℒ_Yukawa = −Q̄_Lⁱ(Y_u)_ijϕ̃u_R^j − Q̄_Lⁱ(Y_d)_ijϕd_R^j + h.c.

Здесь ϕ — поле Хиггса, ϕ̃ = iσ²ϕ^*, Y_u, Y_d — матрицы Юкавы.

После приобретения вакуумного среднего $\langle \phi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \\ v \end{pmatrix}$, возникают массовые термины:

ℒ_mass = −ū_LM_uu_R − d̄_LM_dd_R + h.c.

где $M_u = \frac{v}{\sqrt{2}} Y_u$, $M_d = \frac{v}{\sqrt{2}} Y_d$.

Для перехода к физическим состояниям массы необходимо диагонализовать эти матрицы посредством биунитарного преобразования:

u_L = V_L^uu′_L,  u_R = V_R^uu′_R,  d_L = V_L^dd′_L,  d_R = V_R^dd′_R,

где штрихованные поля u′_L, d′_L являются собственными состояниями массы. Тогда диагонализация означает:

V_L^u†M_uV_R^u = diag(m_u, m_c, m_t),  V_L^d†M_dV_R^d = diag(m_d, m_s, m_b).

Происхождение матрицы CKM

Подстановка этих преобразований в лагранжиан заряженных токов:

$$ \mathcal{L}_\text{CC} = -\frac{g}{\sqrt{2}} \bar{u}'_L V_\text{CKM} \gamma^\mu d'_L W^+_\mu + \text{h.c.}, $$

где

V_CKM = V_L^u†V_L^d

и представляет собой матрицу смешивания Кабиббо–Кобаяши–Маскавы.

Таким образом, из-за различия базисов диагонализации матриц M_u и M_d, заряженные слабые токи приводят к межпоколенческому смешиванию.

Свойства матрицы CKM

Матрица V_CKM — унитарная 3 × 3 матрица. Ее унитарность обеспечивает сохранение вероятности при переходах между кварками различных поколений. Элементы этой матрицы — комплексные числа, причем фаза, которая не может быть устранена перенормировкой полей, приводит к нарушению CP-симметрии в слабом взаимодействии.

Общее количество физических параметров CKM-матрицы:

• 3 угла смешивания,
• 1 необратимая фаза CP-нарушения.

Параметризация матрицы: представление Кабиббо, Вольфенштейна

Угловая параметризация (стандартная)

В стандартной параметризации CKM-матрица записывается через три угла θ₁₂, θ₂₃, θ₁₃ и фазу δ:

$$ V_\text{CKM} = \begin{pmatrix} c_{12}c_{13} & s_{12}c_{13} & s_{13} e^{-i\delta} \\ -s_{12}c_{23} - c_{12}s_{23}s_{13} e^{i\delta} & c_{12}c_{23} - s_{12}s_{23}s_{13} e^{i\delta} & s_{23}c_{13} \\ s_{12}s_{23} - c_{12}c_{23}s_{13} e^{i\delta} & -c_{12}s_{23} - s_{12}c_{23}s_{13} e^{i\delta} & c_{23}c_{13} \end{pmatrix} $$

где s_ij = sin θ_ij, c_ij = cos θ_ij, а δ — CP-фаза.

Аппроксимация Вольфенштейна

Для наглядности и с учетом наблюдаемой иерархии модулей элементов CKM вводится параметризация Вольфенштейна:

$$ V_\text{CKM} \approx \begin{pmatrix} 1 - \frac{\lambda^2}{2} & \lambda & A\lambda^3(\rho - i\eta) \\ - \lambda & 1 - \frac{\lambda^2}{2} & A\lambda^2 \\ A\lambda^3(1 - \rho - i\eta) & -A\lambda^2 & 1 \end{pmatrix} + \mathcal{O}(\lambda^4) $$

где λ ≈ 0.225 — параметр Кабиббо, A, ρ, η — экспериментально определяемые параметры. В частности, параметр η связан с CP-нарушением.

Геометрическая интерпретация: униитарные треугольники

Унитарность CKM-матрицы дает множество условий вида:

∑_kV_ikV_jk^* = δ_ij,  ∑_kV_kiV_kj^* = δ_ij.

Из них можно получить униитарные треугольники в комплексной плоскости. Наиболее известен треугольник для i = 1, j = 3:

V_udV_ub^* + V_cdV_cb^* + V_tdV_tb^* = 0.

Его геометрическая интерпретация в комплексной плоскости позволяет напрямую связывать наблюдаемые величины CP-нарушения с параметрами CKM.

Площадь этого треугольника пропорциональна инварианту Джарлька:

J = Im(V_usV_cbV_ub^*V_cs^*) ≈ A²λ⁶η.

Этот инвариант является мерой CP-нарушения в Стандартной модели.

Экспериментальное определение и последствия

Элементы CKM-матрицы измеряются в экспериментах с распадами частиц, таких как K-, D- и B-мезоны. Нарушение CP-симметрии, впервые замеченное в системе K⁰, позже было подтверждено в распадах B-мезонов.

Точное определение CKM-параметров требует глобального анализа различных процессов:

• слаборазрешенные распады,
• нейтральные осцилляции мезонов (например, B⁰ − B̄⁰),
• редкие распады,
• нарушение CP в интерференции.

Современные эксперименты (например, LHCb, Belle II) продолжают уточнять значения этих параметров, проверяя унитарность CKM и поиск возможных отклонений от Стандартной модели.

Теоретические ограничения и роль CKM

CKM-матрица — один из важнейших источников CP-нарушения в Стандартной модели. Однако этого CP-нарушения недостаточно для объяснения барионной асимметрии Вселенной, что указывает на необходимость физики за пределами Стандартной модели.

Понимание природы и структуры смешивания поколений, в том числе происхождения Юкавы иерархий и фаз CKM, остаётся открытым вопросом и активной областью теоретических исследований.

---