Спонтанное нарушение суперсимметрии

Механизмы спонтанного нарушения суперсимметрии

В теории поля под спонтанным нарушением симметрии (СНC) понимается ситуация, при которой лагранжиан сохраняет симметрию, но вакуумное состояние этой симметрии не инвариантно. Для суперсимметрии (SUSY) аналогично: лагранжиан инвариантен относительно суперсимметрии, но вакуум нарушает её. Это означает, что вакуум не сохраняется действием суперзарядов:

Qα|0⟩ ≠ 0.

Важнейшее следствие — появление золотого фермиона (goldstino), аналогично бозонному случаю с голдстоуновскими частицами при СН обычных глобальных симметрий. В суперсимметрии отсутствие SUSY-инвариантного вакуума связано с невозможностью занулить вариации фермионных суперпартнёров в SUSY-преобразованиях.

Условия для спонтанного нарушения SUSY

Для теорий с глобальной SUSY и лагранжианом, содержащим только калибровочные векторы и хиральные суперполя, основное условие спонтанного нарушения симметрии формулируется через потенциал:

$$ V(\phi, \phi^*) = \sum_i |F_i|^2 + \frac{1}{2} \sum_a D^a D^a. $$

Где:

  • $F_i = -\frac{\partial W}{\partial \phi_i}$ — вспомогательные F-поля хиральных суперполей;
  • Da = −g∑iϕi*Taϕi — вспомогательные D-поля векторных суперполей;
  • W(ϕ) — суперпотенциал.

Суперсимметрия нарушается тогда и только тогда, когда минимум потенциала достигается при ⟨Fi⟩ ≠ 0 или ⟨Da⟩ ≠ 0. При этом SUSY-вакуум отсутствует, поскольку SUSY-вариации фермионных полей содержат F и D как источники.

Критерии SUSY-вакуума

Наличие SUSY-вакуума (инвариантного состояния) требует выполнения системы уравнений:

  • Fi = 0 для всех i;
  • Da = 0 для всех a.

Если не существует набора полей ϕi, для которых оба условия одновременно выполняются, суперсимметрия нарушается спонтанно.

Кроме того, в глобальных SUSY-моделях вакуумная энергия связана с SUSY:

$$ E_{\text{vac}} = \langle V \rangle = \sum_i |\langle F_i \rangle|^2 + \frac{1}{2} \sum_a \langle D^a \rangle^2. $$

Таким образом, ненулевая энергия вакуума служит диагностическим признаком СНС.

Модель O’Райфёрты (O’Raifeartaigh model)

Классический пример F-типа спонтанного нарушения SUSY — модель О’Ра́йфёрты. Рассмотрим три хиральных суперполя Φ1, Φ2, Φ3 с суперпотенциалом:

$$ W = f \Phi_1 + \frac{1}{2} m \Phi_2^2 + \lambda \Phi_1 \Phi_3^2. $$

Из условий SUSY:

F1 = −f − λϕ32,  F2 = −mϕ2,  F3 = −2λϕ1ϕ3.

Решений, одновременно обращающих в ноль все Fi, не существует, что указывает на спонтанное нарушение SUSY.

Минимум потенциала достигается при:

  • ϕ2 = 0,
  • ϕ3 = 0,
  • ϕ1 произвольно.

Таким образом, возникает плоскость модулей по ϕ1, связанная с отсутствием квадратичного члена по ϕ1 в суперпотенциале. В данной модели SUSY нарушается, поскольку ⟨F1⟩ = −f ≠ 0, а энергия вакуума Evac = |f|2 ≠ 0.

D-типа спонтанное нарушение: модель Файета-Илииопулоса

Другой механизм — через ненулевое D-поле. Рассмотрим U(1)-гейджевую теорию с хиральным суперполем Φ, заряд q, и добавим в лагранжиан терм Файета-Илииопулоса (FI):

ℒFI = ξD.

Потенциал:

$$ V = \frac{1}{2} \left( q |\phi|^2 + \xi \right)^2. $$

Если qξ < 0, минимум потенциала достигается при ненулевом ϕ, и D = 0 — SUSY сохраняется. Однако при qξ > 0, нет значений ϕ, обнуляющих D, и тогда:

$$ \langle D \rangle = -\xi, \quad \langle V \rangle = \frac{1}{2} \xi^2 > 0. $$

Суперсимметрия спонтанно нарушена.

Золотое фермино и суперполя

При спонтанном нарушении SUSY возникает масless фермион — грейвинo (goldstino), аналогичный бозонному голдстоуну. Он входит в состав хирального суперполя, чьё F-поле не зануляется (или векторного суперполя с ненулевым D). Его вариация под действием SUSY ведёт к:

δψ = ⟨F⟩ϵ,

где ϵ — параметр SUSY-преобразования. Таким образом, фермион неинвариантен, следовательно, вакуум неинвариантен.

Если SUSY делается локальной (супергравитация), грейвино поглощается гравитино (аналог механизма Хиггса), и последний получает массу:

$$ m_{3/2} = \frac{\langle F \rangle}{\sqrt{3} M_{\text{Pl}}}. $$

Пространство модулей и псевдомодули

В SUSY-моделях с СН часто возникают плоскости модулей — направления в пространстве полей, вдоль которых потенциал не меняется. В случае SUSY-потенциала, состоящего только из F- и D-членов, это означает наличие нулевых направлений в гессиане. Такие поля называют псевдомодулями, поскольку они становятся массивными после квантовых поправок, но остаются плоскими в классической теории.

Пример — поле ϕ1 в модели О’Райфёрты: его масса на уровне дерева равна нулю, но оно приобретает массу на квантовом уровне через одинпетлевые поправки к эффективному потенциалу.

Одинпетлевой эффективный потенциал (потенциал Коулмана-Вайнберга)

Квантовые поправки могут стабилизировать направление вдоль псевдомодуля. Одинпетлевая формула эффективного потенциала для скалярного поля ϕ:

$$ V_{\text{eff}}^{(1)}(\phi) = \frac{1}{64 \pi^2} \text{STr} \left[ \mathcal{M}^4(\phi) \ln \left( \frac{\mathcal{M}^2(\phi)}{\mu^2} \right) \right], $$

где суперслед определяется как:

STr f(ℳ2) = ∑бозоныf(mB2) − ∑фермионыf(mF2).

Эти поправки могут привести к формированию стабильного минимума вдоль направления псевдомодуля.

Метастабильное нарушение суперсимметрии

В некоторых моделях возможны метастабильные SUSY-неинвариантные вакуумы — локальные минимумы потенциала, где SUSY нарушена, но существуют глобальные SUSY-инвариантные состояния. При должной энергетической изоляции такие метастабильные состояния могут быть физически реализуемыми.

Пример — модели ISS (Intriligator–Seiberg–Shih) на основе SQCD с большим числом flavors Nf > Nc, где в дуальной теории возникает метастабильное SUSY-неинвариантное состояние.

Общие замечания

Спонтанное нарушение суперсимметрии — необходимый элемент реалистичных моделей, поскольку SUSY-партнёры элементарных частиц не наблюдаются при низких энергиях. Однако механизмы нарушения должны быть согласованы с требованием малости космологической постоянной, что требует тонкой настройки в рамках супергравитации.

Важной задачей остаётся построение механизмов передачи SUSY-нарушения от «скрытого сектора» к стандартной модели (например, через гравитационное, калибровочное или анизотропное посредничество).

Оглавление