В квантовой теории поля при ненулевой температуре центральным объектом является статистическая сумма (или функция распределения), которая содержит полную информацию о термодинамическом и статистическом поведении системы. Для системы, находящейся в термодинамическом равновесии при температуре T, каноническая статистическая сумма определяется как след по гильбертовому пространству:
$$ Z(\beta) = \text{Tr}\left( e^{-\beta H} \right), \quad \beta = \frac{1}{k_B T} $$
где H — гамильтониан системы, kB — постоянная Больцмана. В квантовой теории поля удобно работать в натуральных единицах, где kB = ℏ = c = 1.
При наличии химического потенциала μ, учитывающего сохранение заряда (например, числа частиц), статистическая сумма принимает вид:
Z(β, μ) = Tr(e−β(H − μQ))
где Q — оператор соответствующего заряда.
Переход от гамильтонова описания к лагранжеву реализуется посредством перехода к евклидовой формулировке. Замена вещественного времени на мнимое: t → −iτ, приводит к евклидовому действию, а статистическая сумма переписывается как функциональный интеграл по евклидовым конфигурациям:
Z = ∫????ϕ e−SE[ϕ]
где SE — евклидово действие поля ϕ. В этом формализме евклидово время τ считается периодическим:
τ ∼ τ + β
Таким образом, в квантовой теории поля при конечной температуре пространство-время компактифицировано по времени в окружность радиуса β. Это приводит к граничным условиям по времени:
Эти условия отражают статистическую природу соответствующих частиц и обеспечивают правильный выбор базиса в гильбертовом пространстве при взятии следа.
Основным термодинамическим потенциалом, вычисляемым из статистической суммы, является свободная энергия:
$$ F = -\frac{1}{\beta} \ln Z $$
Все остальные потенциалы и термодинамические величины выводятся из F:
Внутренняя энергия:
$$ U = \left\langle H \right\rangle = -\frac{\partial}{\partial \beta} \ln Z $$
Энтропия:
$$ S = -\left( \frac{\partial F}{\partial T} \right)_V = \beta^2 \frac{\partial F}{\partial \beta} $$
Давление:
$$ P = -\left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)_T $$
Теплоемкость при постоянном объеме:
$$ C_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V $$
Если в систему введён химический потенциал μ, то появляется великая каноническая функция:
Ω(T, V, μ) = −Tln Z = F − μN
где N = ⟨Q⟩ — среднее число частиц или значение соответствующего заряда.
Для свободной скалярной бозонной теории статистическая сумма может быть выражена как произведение по евклидовым модам:
ln Z = −∑nln (1 − e−βωn)
где ωn — собственные частоты (спектр) гамильтониана. Это выражение приводит к добре известному распределению Бозе–Эйнштейна. Аналогично, для фермионных полей:
ln Z = ∑nln (1 + e−βωn)
соответствующее распределению Ферми–Дирака. Эти формулы играют центральную роль в вычислении термодинамики полевых теорий.
Переход к спектральному представлению позволяет выразить статистическую сумму через спектр гамильтониана:
Z(β) = ∑ne−βEn
где En — собственные значения H. При низких температурах вклад в сумму вносит в основном наинизшее состояние (вакуум), и свободная энергия стремится к энергии вакуума:
limβ → ∞F(β) = E0
Это позволяет изучать квантовые эффекты при T = 0 через асимптотику статистической суммы.
В теории термального поля можно использовать формализм ТФТ (Thermal Field Theory), который включает две основные техники:
Imaginary Time Formalism (ITF) Работает с евклидовым временем, как описано выше. Поля рассматриваются как функции на S1 × ℝ3, с соответствующими граничными условиями.
Real Time Formalism (RTF) Позволяет вычислять неравновесные корреляционные функции. Используется контур Швингера–Келдиша в комплексной плоскости времени. В этом подходе вводится удвоение полей: физические и тепловые, что приводит к матричной структуре пропагаторов.
При T > 0 формулы для пропагаторов модифицируются. В ITF используется разложение по частотам:
Пример пропагатора для скалярного бозона в евклидовой области:
$$ G_E(\omega_n, \vec{p}) = \frac{1}{\omega_n^2 + \vec{p}^{\,2} + m^2} $$
Это выражение используется при вычислении диаграмм возмущений, с последующим суммированием по ωn. В RTF, напротив, используются тепловые пропагаторы, зависящие от T, имеющие более сложную структуру и связанные с распределениями Бозе и Ферми.
При T = 0 наблюдаемые величины определяются вакуумными диаграммами, однако при конечной температуре необходимо учитывать термические поправки, происходящие из различий между вакуумной и тепловой статистической суммой.
Общая структура эффективного потенциала при температуре T такова:
Veff(ϕc, T) = Veff(0)(ϕc) + ΔVT(ϕc, T)
где ϕc — классическое поле. Добавка ΔVT зависит от распределения частиц в термальном ванне и приводит к явлениям типа:
Для квантовых полевых теорий при высокой температуре (например, КХД при T ≫ ΛQCD) ключевым объектом является энтропийная плотность:
$$ s = \frac{\rho + P}{T} $$
где ρ — плотность энергии, P — давление. Уравнение состояния описывает связь между ними. Для газа массовых частиц:
Бозоны:
$$ \rho = \frac{\pi^2}{30} g_b T^4, \quad P = \frac{1}{3} \rho $$
Фермионы:
$$ \rho = \frac{7\pi^2}{240} g_f T^4, \quad P = \frac{1}{3} \rho $$
где gb, gf — число степеней свободы.
Такие оценки играют важную роль в космологии (например, при описании радиационного доминирования) и в физике ранней Вселенной.
Функции Грина при конечной температуре обладают периодичностью по евклидовому времени. Это приводит к следующим важным свойствам:
В частности, флуктуационно-диссипативная теорема устанавливает связь между диссипативными коэффициентами и спектром флуктуаций, и выражается через термальные корреляционные функции.
Наличие симметрий в лагранжиане (глобальных или калибровочных) влияет на структуру статистической суммы. Например:
Все эти явления могут быть описаны на языке термодинамических потенциалов и эффективно захвачены функцией распределения.