Теорема Нётер является одним из краеугольных камней теоретической физики, поскольку она устанавливает прямую связь между симметриями физических систем и законами сохранения. Эта теорема была сформулирована Эмми Нётер в 1915 году и оказывает фундаментальное влияние как на классическую механику, так и на квантовую теорию поля. В контексте квантовой теории поля, теорема Нётер помогает объяснить, как различные симметрии, такие как инвариантность относительно преобразований времени, пространства и других внутренних симметрий, связаны с сохранением физических величин, таких как энергия, импульс и заряд.
Теорема Нётер гласит, что для каждой непрерывной симметрии действующего действия существует соответствующая величина, которая сохраняется в процессе динамического эволюционирования системы. В частности, если действие системы инвариантно относительно какого-либо непрерывного преобразования, то существует связанная с этим симметрией консервативная величина.
Математически, если система описывается действием S, и это действие инвариантно относительно некоторых трансформаций координат, то существует соответствующий закон сохранения. В квантовой теории поля это может выражаться как сохранение энергии, импульса или других физических величин в связи с симметрией.
Симметрии можно разделить на несколько типов в зависимости от того, к чему они применимы:
Транслвционные симметрии (инвариантность действия относительно сдвигов во времени и пространстве) ведут к сохранению импульса и энергии соответственно. Эти симметрии отвечают за инвариантность теорий относительно смещения во времени и пространстве. Например, инвариантность действия относительно сдвига во времени приводит к закону сохранения энергии.
Ротационные симметрии (инвариантность относительно поворотов пространства) ведут к сохранению углового момента. Ротационные симметрии отражают то, что физические законы остаются неизменными при изменении ориентации системы.
Унитарные симметрии (например, инвариантность по отношению к преобразованиям внутренних симметрий, таким как преобразования Людовика) приводят к сохранению различных зарядов, таких как электрический заряд.
В квантовой теории поля (КТП) теорема Нётер применима к полям, описывающим элементарные частицы и взаимодействия между ними. В этом контексте симметрии, такие как инвариантность относительно преобразований Лоренца (связанных с симметриями пространства-времени) и внутренних симметрий (например, преобразования Гаусса), влияют на консервативные величины.
Важным аспектом применения теоремы Нётер в КТП является то, как симметрии могут быть нарушены в некоторых теориях. Например, в случае так называемых спонтанных нарушений симметрии, таких как в механизме Хиггса, симметрия может быть нарушена на уровне вакуума, но все еще сохраняться на уровне полей, что имеет важные физические последствия.
В квантовой теории поля действие S системы может быть записано как интеграл по пространству-времени с лагранжианом ℒ:
S = ∫d4x ℒ
Если лагранжиан инвариантен относительно трансляций во времени и пространстве, то по теореме Нётер существует сохранение энергии и импульса. Математически это можно выразить с помощью уравнений Эйлера-Лагранжа для полей, которые приводят к законченным уравнениям сохранения для энергии и импульса.
Если система инвариантна относительно преобразований группы U(1) (например, в электродинамике), то по теореме Нётер существует сохранение электрического заряда. В этом случае взаимодействия между заряженными частицами могут быть описаны уравнениями Максвелла, и закон сохранения заряда будет действовать на всех уровнях теории.
Не всегда симметрии, присущие действию, сохраняются в природе. В некоторых случаях происходит спонтанное нарушение симметрии, когда система в результате изменения условий или взаимодействий оказывается в состоянии, которое не инвариантно относительно исходной симметрии. Примером такого явления является механизм Хиггса, при котором симметрия, присущая теории до спонтанного нарушения, приводит к возникновению массы частиц, несмотря на то что исходная теория была инвариантна относительно массы.
Это явление играет важную роль в квантовой теории поля и объясняет, почему симметрии, которые существовали в теоретической модели, могут быть нарушены в реальной физической системе, приводя к новым предсказаниям и открытиям в физике элементарных частиц.
Теорема Нётер является важнейшим инструментом в квантовой теории поля, который позволяет связывать симметрии системы с законами сохранения. Эти законы сохраняются на всех уровнях физической теории, от классических до квантовых систем, и лежат в основе многих фундаментальных открытий, таких как сохранение энергии, импульса и заряда. Введение в понятие симметрий и их нарушение в контексте квантовых полей помогает глубже понять, как фундаментальные силы природы действуют на элементарные частицы.