Топологические фазы материи представляют собой состояния квантовых систем, чьи физические свойства определяются не локальными параметрами порядка, а глобальными топологическими инвариантами. В отличие от традиционных фазовых переходов Ландау, характеризующихся спонтанным нарушением симметрии и параметром порядка, топологические фазы не требуют симметрийного спонтанного нарушения и могут существовать даже в полностью симметричном состоянии.
Типичными признаками топологических фаз являются:
Ключевым понятием, описывающим внутреннюю структуру таких фаз, является топологический порядок. В рамках квантовой теории поля он формализуется через топологические квантовые полевые теории (TQFT), в частности теории Черна–Саймонса, которые эффективно описывают инфракрасное поведение таких систем.
Топологический порядок проявляется, в частности, в том, что полная информация о состоянии системы не может быть локализована в конечной области пространства, а только в глобальных топологических характеристиках. Это выражается, например, в вырожденности основного состояния, которая зависит от топологии пространства, в котором определена система (например, от числа ручек тора).
Одним из первых и наиболее изученных примеров является дробный квантовый эффект Холла. В нём токи, возникающие при приложении поперечного электрического поля, квантуются с дробными коэффициентами, что не может быть объяснено традиционной теорией Бруиллуэна или спонтанным нарушением симметрии.
Эффективной теорией, описывающей такие состояния, является абелева теория Черна–Саймонса уровня k, связанная с группой U(1), с лагранжианом вида:
$$ \mathcal{L}_{CS} = \frac{k}{4\pi} \epsilon^{\mu\nu\rho} a_\mu \partial_\nu a_\rho, $$
где aμ — калибровочное поле, не связанное с динамикой, но определяющее топологические свойства системы. Величина k обратно пропорциональна дробной квантованной проводимости.
Возбуждения в таких системах обладают дробным электрическим зарядом и obey fractional statistics, будучи анионами. В случае более сложных дробных состояний возможно появление нефабониевских анионов, что открывает возможности для топологической квантовой информации.
Изинговая топологическая фаза связана с нефабониевской статистикой. Она возникает, например, в p + ip сверхпроводниках и в некоторых моделях квантовых спиновых жидкостей. Эта фаза описывается теорией Черна–Саймонса на группе SU(2)2, где фундаментальные возбуждения — не абелевы анионы с нетривиальной операторной алгеброй сплетения.
Краевые состояния в таких системах описываются соответствующими конформными теориями поля (например, минимальная модель Изинга), что обеспечивает их универсальность и вычислимость с помощью средств КТП.
Дискретный пример топологического порядка представлен моделью торического кода Китаева. Эта система определена на двумерной решётке, где на рёбрах находятся кубиты, и гамильтониан включает продукты операторов Паули по вершинам и по ячейкам:
H = −∑vAv − ∑pBp,
где Av и Bp коммутируют между собой и имеют собственные значения ±1. Основное состояние вырождено, и его вырождение зависит от топологии поверхности (на торе — четырёхкратное).
Возбуждениями в этой системе являются абелевы анионы — e и m-частицы, которые obey mutual semionic statistics (взаимная статистика с фазой π). Система устойчива к локальным возмущениям, поскольку информация кодируется в глобальных характеристиках — это даёт мощную платформу для топологической квантовой памяти.
Обобщённый подход к описанию топологических фаз основан на топологических теориях поля, в которых лагранжиан инвариантен относительно диффеоморфизмов и не зависит от метрической структуры пространства. Наиболее важной из таких теорий является теория Черна–Саймонса:
$$ S_{CS} = \frac{k}{4\pi} \int \text{Tr} \left( A \wedge dA + \frac{2}{3} A \wedge A \wedge A \right), $$
где A — калибровочная 1-форма, k ∈ ℤ — уровень теории. Эта теория не содержит физических степеней свободы в объёме, однако описывает краевые состояния, обладающие динамикой, и может реализовывать статистику любых частиц, включая нефабониевскую.
Краевые состояния топологических фаз при этом описываются (1+1)-мерными конформными теориями поля, связанными с соответствующими алгебрами Витта и Каца–Муди. Между теорией в объёме и теорией на крае существует глубокое соответствие (bulk–edge correspondence), обеспечивающее возможность анализа спектра и корреляторов.
Отдельный класс топологических фаз составляют симметрийно-защищённые фазы (SPT — symmetry-protected topological phases), такие как топологические изоляторы и сверхпроводники. В отличие от фаз с топологическим порядком, они не обладают вырождением основного состояния на торе и не имеют анионных возбуждений, но характеризуются топологически защищёнными краевыми состояниями, стабильными при сохранении определённой симметрии (например, временной инверсии).
Типичный пример — двумерный топологический изолятор (эффект квантового спинового Холла), в котором спин-зависимая проводимость квантуется, и возникают краевые состояния с противоположными спинами, движущимися в противоположных направлениях. Теоретически такие фазы описываются нетривиальной ℤ2-топологией в пространстве гамильтонианов при условии сохранения симметрии.
Эффективные полевые теории таких состояний можно сформулировать с использованием добавок типа θ-терма:
$$ S_\theta = \frac{\theta}{2\pi} \frac{e^2}{2\pi h} \int F \wedge F, $$
где θ = π соответствует топологическому изолятору, θ = 0 — тривиальной фазе.
В современной теории используется несколько подходов к классификации топологических фаз:
Современные исследования также активно развивают категориально-теоретический подход, в котором фазы рассматриваются как объекты соответствующих (n,1)-категорий.
Одним из наиболее прикладных направлений изучения топологических фаз является топологическая квантовая информация. Топологические фазы, обладающие нефабониевскими анионами, позволяют реализовывать устойчивые к ошибкам квантовые вычисления, поскольку информация кодируется в глобальных топологических характеристиках, а не в локальных состояниях.
Операции сплетения (braiding) анионов реализуют унитарные преобразования на гильбертовом пространстве вырожденных состояний, соответствующих вычислительным состояниям квантового компьютера. Такие системы в перспективе способны обеспечить устойчивую платформу для масштабируемых квантовых вычислений. Наиболее активно исследуемыми кандидатами являются состояния в эффектах Холла при ν = 5/2, p + ip-сверхпроводники и модели типа кода Фибоначчи.
Квантовая теория поля предоставляет мощный формализм для анализа и описания топологических фаз. Использование топологических теорий, аномалий, конформных теорий поля, а также нелокальных операторов, позволяет понять глубокую структуру таких фаз, их устойчивость и взаимосвязь с фундаментальными симметриями.
КТП не только служит теоретическим инструментом, но и обеспечивает связь между наблюдаемыми физическими величинами (например, квантованной проводимостью) и абстрактными топологическими инвариантами (числа Черна, элементы когомологий, инварианты сплетения). В силу этого она стала центральным элементом современной физики конденсированных сред и квантовой информации.