Топологические квантовые теории поля (ТКТП) представляют собой особый класс квантовых теорий, в которых наблюдаемые не зависят от метрических свойств пространства-времени. Иначе говоря, все физические величины в таких теориях инвариантны относительно гладких деформаций метрики. Это радикально отличает их от большинства стандартных квантовых теорий поля, в которых динамика и корреляции зависят от расстояний и метрик.
В ТКТП интеграл по конфигурациям поля зависит исключительно от топологии многообразия, на котором теория определена. Основной объект интереса — это топологические инварианты, такие как эйлерова характеристика, число Понтрягина, класс Черна и др. Именно их и вычисляют соответствующие квантовые амплитуды.
Существует несколько подходов к классификации ТКТП. Один из ключевых критериев — различие между теориями типа А и типа В по Виттену, а также наличие супермассива BRST-подобной симметрии. Виттен в 1988 году ввёл идею топологического твиста в суперсимметрических теориях, что позволило выделить теории, в которых энергия и метрика не играют роли, а состояние системы описывается ко-гомологическими классами.
Другим подходом является деление по типу квантовой калибровочной теории: абелевы (например, теория Черна-Саймонса для группы U(1)) и неабелевы (например, SU(N)-обобщения). Также различают теории, локализуемые на определённых конфигурациях (например, инстантоны или решетки), и теории, в которых действия не зависят от поля в явном виде, а описываются через интегралы по характеристическим классам.
Поскольку теория независима от метрики, стандартная каноническая процедура квантования становится плохо определённой. Однако путь интегрирования по траекториям остаётся работоспособным, особенно при использовании BRST-симметрии и локализационных техник.
Типичная стратегия — выбрать конфигурации, на которых действие стационарно, и вычислить вклад в функциональный интеграл, сводя его к вычислению топологического инварианта. Например:
Одной из важнейших ТКТП является теория Черна–Саймонса в трёх измерениях. Действие имеет вид:
$$ S_{CS}[A] = \frac{k}{4\pi} \int_M \text{Tr} \left( A \wedge dA + \frac{2}{3} A \wedge A \wedge A \right), $$
где A — калибровочное поле (1-форма на трёхмерном многообразии M), k ∈ ℤ — уровень квантования. Теория определена с точностью до гладкой деформации M и не зависит от метрики. Все физические наблюдаемые — это топологические инварианты: например, амплитуды соответствуют многочленам узлов и плетений.
Интеграл по калибровочным полям, с добавлением вставок вильсоновских петель,
WR(C) = TrR Pexp (∮CA),
описывает узловые инварианты, где R — представление группы, C — замкнутый контур (узел). Эти вильсоновские операторы подчиняются алгебре плетений, связанной с теорией модульных тензорных категорий и теориями представлений квантовых групп.
В 4 измерениях важную роль играет теория Дональдсона, получаемая как топологический твист ???? = 2 суперсимметричной теории Янга-Миллса. Эта теория используется для определения гладких инвариантов 4-мерных многообразий.
Ключевой объект — модульное пространство решений уравнений самодуальности (инстантоны). Эти уравнения:
F = ⋆F
(где F — тензор напряжённости калибровочного поля) определяют конфигурации, минимизирующие действие и являющиеся стационарными точками интеграла пути. Интегралы по этому пространству (с учётом вставок) определяют инварианты Дональдсона — числа, зависящие от структуры гладкости 4-мерного многообразия, но не от его метрики.
Центральным понятием в построении ТКТП является твист суперсимметрии, при котором компоненты спиноров перекомбинируются так, что один из суперзарядов Q становится скалярным. Его роль аналогична BRST-оператору. Физические наблюдаемые — это Q-ко-гомологии. Действие можно записать в Q-точной форме:
S = Q ⋅ V,
где V — некоторый фермионный функционал. Это гарантирует, что теория инвариантна относительно гладких деформаций метрики: изменение метрики приводит лишь к Q-точному изменению действия, не влияющему на путь интегрирования.
Одним из мощнейших инструментов в вычислении функциональных интегралов в ТКТП является локализация. Если действие Q-точно, и оператор Q имеет конечномерные неподвижные точки, то вклад в интеграл концентрируется на конфигурациях, для которых δQS = 0. Это резко снижает сложность вычислений: бесконечномерный интеграл сводится к конечномерному.
Пример: теория Янга-Миллса после твиста локализуется на инстантоны, теория Черна–Саймонса — на плоские соединения. В обоих случаях функциональный интеграл редуцируется к интегралу по модульному пространству таких решений, с включением детерминантов флуктуаций (однопетлёвых поправок).
ТКТП лежат на пересечении физики и математики: они дали рождение и физическую интерпретацию множеству новых инвариантов в топологии и алгебраической геометрии:
Такие связи особенно выразительны в контексте программы “геометризации” квантовой теории поля — стремления выразить все физические данные (состояния, операторы, амплитуды) в терминах инвариантов многообразий, расслоений и их модулярных свойств.
Некоторые топологические теории интерпретируются как гравитационные теории. Например, 3-мерная гравитация с космологической постоянной может быть представлена как теория Черна–Саймонса с неабелевой группой, связанной с группой Лоренца. Это устанавливает связь между ТКТП и теориями гравитации в маломерных пространствах.
Более того, идеи ТКТП оказываются важны при формализации квантовой гравитации, в частности, в подходе спиновых пенок, каноническом квантовании геометрии и теории струн. Например, модели топологической струны типа А и В лежат в основе зеркальной симметрии, важной в алгебраической геометрии.
ТКТП активно развиваются в направлениях:
Таким образом, топологические квантовые теории поля представляют собой не только фундаментальный класс моделей в теоретической физике, но и мост между квантовой теорией поля, алгебраической геометрией, топологией многообразий и физикой низких энергий.