Во многих квантово-полевых теориях пространство классических решений допускает разбиение на топологические классы, которые не могут быть деформированы друг в друга непрерывным образом без нарушения граничных условий или увеличения энергии до бесконечности. Такие классы конфигураций определяются топологическими инвариантами, связанными с отображениями между многообразиями, и характеризуют нетривиальные структуры поля.
Простейший пример — это одномерное скалярное поле с потенциалом двойной ямы:
$$ V(\phi) = \frac{\lambda}{4}(\phi^2 - v^2)^2, $$
для которого классические конфигурации при x → ±∞ стремятся к различным минимумам потенциала. Такие конфигурации называются солитонами (в данном случае — kink или kink-солитон), и они характеризуются топологическим зарядом:
$$ Q = \frac{1}{2v} \left[ \phi(+\infty) - \phi(-\infty) \right] \in \mathbb{Z}. $$
Этот заряд инвариантен при непрерывных деформациях поля, не меняющих асимптотику.
Топологический заряд тесно связан с гомотопическими группами. Пусть M — пространственно-временное многообразие, Σ ⊂ M — пространственная гиперповерхность, а ϕ : Σ → ℳ — конфигурация поля, отображающая гиперповерхность в целевое многообразие ℳ значений поля. Тогда топологический класс конфигурации определяется элементом гомотопической группы:
[ϕ] ∈ πn(ℳ),
где n = dim Σ. Примеры:
Таким образом, топологические заряды количественно отражают степень топологической нетривиальности поля.
Солитоны представляют собой локализованные конечные по энергии конфигурации поля, обладающие устойчивостью за счёт топологических причин. Например, классическая конфигурация kink в (1+1)-мерной теории не может быть непрерывно сведена к вакууму — это предотвращается сохранением топологического заряда. При квантовании таких решений возникает спектр возбуждений, среди которых могут быть стабильные частицы, интерпретируемые как топологические частицы.
Такие решения минимизируют энергию в каждом топологическом классе и могут быть найдены через метод Богдашовского-Самптона:
E ≥ |Q| ⋅ ε,
где ε — энергия минимальной конфигурации с зарядом Q = ±1.
В теории Абелевой калибровки с комплексным скалярным полем (теория Гинзбурга–Ландау или Абелевская Хиггсовская модель) возникают вихревые решения. Пусть лагранжиан:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + |D_\mu \phi|^2 - \lambda(|\phi|^2 - v^2)^2. $$
Стационарные конфигурации с |ϕ| → v при r → ∞ и ϕ ∼ einθ обладают вихревым числом n ∈ ℤ, являющимся топологическим зарядом:
$$ Q = \frac{1}{2\pi} \oint A_i dx^i = n. $$
Такие вихри называются топологическими и играют ключевую роль в теории сверхпроводимости второго рода.
В (3+1)-мерной теории с SU(2) калибровочной симметрией и скалярным триплетом возникает решение монополя т’Хоофта–Полякова — стабильная, локализованная конфигурация с нетривиальным зарядом:
$$ Q = \frac{1}{4\pi} \int d^2S_i \, \epsilon_{ijk} \, \text{Tr} \left( \hat{\phi} F_{jk} \right), $$
где ϕ̂ = ϕ/|ϕ|. Он представляет собой неминимальную конфигурацию в классе отображений S∞2 → S2, то есть элемент π2(S2) = ℤ.
В евклидовом формализме квантовой теории поля важную роль играют инстантоны — решения уравнений движения, локализованные во всех четырёх евклидовых направлениях и обладающие конечным действием. Пример — SU(2) Янга–Миллса теория:
$$ S_E = \frac{1}{2g^2} \int d^4x \, \text{Tr} (F_{\mu\nu} F_{\mu\nu}). $$
Инстантоны классифицируются по топологическому числу (числу Понтрягина):
$$ Q = \frac{1}{16\pi^2} \int d^4x \, \text{Tr} \left( F_{\mu\nu} \tilde{F}_{\mu\nu} \right) \in \mathbb{Z}. $$
Это число описывает степень отображения компактифицированного евклидова пространства S4 → SU(2), соответствующую элементу π3(SU(2)) = ℤ.
Инстантоны отвечают за туннелирование между различными вакуумными секторами с разным топологическим числом, что имеет фундаментальные следствия, например, в возникновении аномалий и разложении θ-вакуума.
В теории Янга–Миллса наличие топологических секторов приводит к появлению параметра θ, отражающего вклад топологических классов в квантовую амплитуду:
$$ \mathcal{L}_\theta = \frac{\theta}{16\pi^2} \text{Tr} (F_{\mu\nu} \tilde{F}_{\mu\nu}). $$
Хотя этот член не влияет на уравнения движения (будучи полной производной), он существенно изменяет структуру вакуума и, в частности, приводит к CP-нарушению в сильном взаимодействии. Эффекты, связанные с θ-членом, обнаруживаются через вклад инстантонов в функционал действия.
Современные теории, включая суперсимметричные и струнные модели, допускают более сложные топологические конфигурации, такие как доменные стены, струны, браны и другие обобщённые солитоны. Их классификация основывается на обобщённых гомотопических группах, коциклаx Черна–Симонса, характерных классах и теории калиброванных многообразий.
Например, в теории D-бран в суперструнной теории топологические заряды описываются элементами K-теории, а не просто гомотопическими группами. Эти структуры связывают топологические заряды с фундаментальными симметриями пространства и калибровочными свойствами теории.
Квантование солитонных решений производится методом коллективных координат. Это приводит к дополнительным модам возбуждения, ассоциированным с симметриями пространства решений. В некоторых теориях солитоны ведут себя как фермионы (например, солитоны в модели Джеккев–Ребби) или как носители калибровочного заряда (модулярное пространство монополей).
Пример: квантованный kink в (1+1)-мерной теории приводит к дополнительному уровню энергии и модам, описываемым ферминовыми операторами с ненулевым индексом.
Таким образом, топологические солитоны не только обогащают структуру квантовой теории поля, но и обеспечивают мост между классической топологией и квантовой динамикой, часто играя ключевую роль в объяснении физических явлений, недоступных в рамках возмущательной теории.