Центральный заряд и теорема c

Алгебра Вирасоро и центральное расширение

В двумерной конформной теории поля центральным объектом анализа является алгебра Вирасоро — центральное расширение алгебры конформических преобразований. Эта алгебра описывает коммутаторы между модами тензора энергии-импульса:

$$ [L_m, L_n] = (m - n)L_{m+n} + \frac{c}{12}(m^3 - m)\delta_{m+n, 0}, $$

где Ln — моды тензора энергии-импульса T(z), а c — так называемый центральный заряд. Этот параметр возникает при квантовании теории и характеризует наличие анomalии в алгебре симметрий: в классической теории соответствующий коммутатор не содержит дополнительного члена, пропорционального c.

Центральный заряд играет ключевую роль в классификации двумерных конформных теорий. Он не только появляется в алгебре Вирасоро, но также определяет трансформационные свойства тензора энергии-импульса при конформных преобразованиях. При отображении z ↦ w(z) тензор энергии-импульса трансформируется как квазиполя размерности 2, но с дополнительным членом, называемым аномальным членом Шварцевого типа:

$$ T(w) = \left( \frac{dz}{dw} \right)^2 T(z) + \frac{c}{12} \{ z, w \}, $$

где {z, w} — шварцев производная:

$$ \{z, w\} = \frac{d^3 z/dw^3}{dz/dw} - \frac{3}{2} \left( \frac{d^2 z/dw^2}{dz/dw} \right)^2. $$

Этот член невозможно устранить никаким перенормированием и он проявляет фундаментальную природу квантовой аномалии конформической симметрии.

Центральный заряд как мера числа степеней свободы

Центральный заряд имеет интерпретацию как количественная характеристика числа степеней свободы теории. В простейших случаях:

  • Свободная скалярная реальная теория: c = 1;
  • Одна свободная фермионная теория: $c = \frac{1}{2}$;
  • Модель Изинга при критической температуре: $c = \frac{1}{2}$;
  • Модель Поттса при q = 3: $c = \frac{4}{5}$;
  • Минимальные модели: c < 1.

Таким образом, значение c можно рассматривать как “эффективное число” квантовых степеней свободы, участвующих в критической динамике.

Теорема C: убывание центрального заряда в ренормгрупповом потоке

Теорема c, сформулированная Александром Замолодчиковым, утверждает фундаментальное свойство двумерных квантовых теорий поля: центральный заряд монотонно убывает вдоль ренормгруппового потока. То есть, при переходе от ультрафиолетовой (УФ) фиксированной точки к инфракрасной (ИК), значение c уменьшается:

cUV > cIR.

Для доказательства вводится так называемая c-функция, c(gi, μ), которая зависит от констант связи теории gi и масштаба μ. Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:

$$ \frac{d c}{d \ln \mu} = -3 G_{ij} \beta^i \beta^j \leq 0, $$

где βi — β-функции, а Gij — метрика Замолодчикова на пространстве теорий (конформная метрика, положительно определённая). Равенство достигается только в точках фиксированной точки РГ-потока, где βi = 0, и c(gi, μ) → cfixed point. Таким образом, c ведёт себя как функция Ляпунова: она всегда убывает и достигает экстремума (минимума) в стационарных точках.

Это утверждение имеет глубокие последствия:

  • Оно исключает возможность циклических РГ-траекторий в двумерных теориях.
  • Оно обеспечивает строгую и количественную интерпретацию “потери информации” или уменьшения числа степеней свободы при переходе от УФ к ИК.

Геометрическая интерпретация и связь с корреляционными функциями

В доказательстве теоремы c ключевую роль играет рассмотрение корреляционных функций компоненты Tzz̄ тензора энергии-импульса, которая в конформной теории в точке фиксированной точки должна обращаться в нуль. Но вдоль ренормгруппового потока этот компонент становится ненулевым и выражает аномалию несохранения:

∂z̄T(z) = ∂zTzz̄(z, z̄).

Анализируя корреляторы типа ⟨T(z)T(w)⟩ и ⟨Tzz̄(z, z̄)Tzz̄(0, 0)⟩, Замолодчиков показал, что именно последние дают вклад в производную dc/dln μ, и их вклад всегда неотрицателен, что и обеспечивает убывание c.

Обобщения и аналогии

Хотя теорема c строго доказана только в двумерной квантовой теории поля, в теории поля в более высоких размерностях предлагались аналогичные гипотезы:

  • В d = 4 — a-теорема, утверждающая убывание коэффициента a, стоящего при Эйлеровом плотности в аномалии масштабной инвариантности;
  • В d = 3 — гипотеза F-теоремы, основанная на поведении свободной энергии на трёхсфере.

Каждая из этих гипотез имеет собственные доказательства (часто голографические) и отражает фундаментальный принцип убывания числа эффективных степеней свободы при снижении энергии.

Центральный заряд и унитарность

Для унитарных теорий в двумерной конформной теории поля центральный заряд строго положителен. Кроме того, при квантовании на цилиндре центральный заряд входит в выражение для энергии вакуума (энергии Казимира) в форме:

$$ E_0 = -\frac{\pi c}{6L}, $$

где L — длина окружности. Этот эффект — прямое следствие трансформационного свойства тензора энергии-импульса и аномалии при переходе от плоскости к цилиндру.

Центральный заряд также определяет асимптотическое поведение числа состояний в теории. Согласно формуле Карди:

$$ \ln \rho(\Delta) \sim 2\pi \sqrt{\frac{c \Delta}{6}}, $$

где ρ(Δ) — плотность состояний при высоких энергиях. Это уравнение не только подчеркивает фундаментальную роль c, но и связывает его с энтропийными характеристиками теории.

Центральный заряд в голографии

В рамках AdS/CFT-соответствия центральный заряд граничной CFT связан с параметрами гравитационной теории в объёме. В случае AdS3/CFT2 этот заряд выражается через радиус R AdS-пространства и гравитационную постоянную GN:

$$ c = \frac{3R}{2G_N}. $$

Это выражение демонстрирует голографическую природу центрального заряда как “объема” гравитационного измерения, доступного граничной теории.

Таким образом, центральный заряд — не просто параметр алгебраической структуры. Он отражает фундаментальные характеристики теории: от симметрий и аномалий до числа степеней свободы, масштабных свойств и голографических проекций.

Оглавление