Квантовая теория поля (КТП) описывает взаимодействие полей и частиц на фундаментальном уровне. Одним из важнейших инструментов для анализа динамики полевых систем в КТП являются уравнения Эйлера-Лагранжа. Эти уравнения обеспечивают переход от лагранжиана системы к уравнениям движения, которые могут быть использованы для описания квантовых полей.
В основе уравнений Эйлера-Лагранжа лежит принцип наименьшего действия, который утверждает, что физическая система будет эволюционировать таким образом, чтобы интеграл действия был минимален. Для полевых систем действие S определяется как интеграл по времени от лагранжиана ℒ:
S = ∫ℒ d4x,
где ℒ — лагранжиан системы, который является функцией полей и их производных по пространственно-временному координатам. В случае классической поля φ(x), действие может быть записано как:
S = ∫d4x ℒ(φ, ∂μφ).
Уравнение Эйлера-Лагранжа для полевого лагранжиана можно получить из вариации действия S относительно поля φ(x). Для полевой системы, описываемой лагранжианом ℒ(φ, ∂μφ), вариация действия S по полю φ(x) приводит к следующим уравнениям:
$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \varphi)} \right) = 0. $$
Эти уравнения описывают эволюцию поля φ(x) в пространственно-временном континууме. Они могут быть использованы для анализа как классических, так и квантовых полевых систем.
Рассмотрим случай скалярного поля φ(x), которое взаимодействует с самой собой и имеет массу m. Лагранжиан для такого поля в свободном случае (без взаимодействий) имеет вид:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi \, \partial^\mu \varphi - \frac{1}{2} m^2 \varphi^2. $$
Применяя уравнение Эйлера-Лагранжа к этому лагранжиану, получаем:
$$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi} = -m^2 \varphi, \quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \varphi)} = \partial^\mu \varphi. $$
Подставляя эти выражения в уравнение Эйлера-Лагранжа, получаем уравнение движения для скалярного поля:
∂μ∂μφ + m2φ = 0.
Это уравнение является уравнением для свободного скалярного поля с массой m. Оно также известно как уравнение Клейна-Гордона.
Для более сложных полевых систем, включающих взаимодействия между полями, лагранжиан может содержать дополнительные члены, отражающие эти взаимодействия. Например, для системы с взаимодействием между скалярным полем φ(x) и электромагнитным полем Aμ(x) лагранжиан может быть записан как:
$$ \mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi \, \partial^\mu \varphi - \frac{1}{2} m^2 \varphi^2 - \frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} - g \varphi A_\mu J^\mu, $$
где Fμν = ∂μAν − ∂νAμ — тензор электромагнитного поля, g — константа взаимодействия, а Jμ — плотность тока. В этом случае уравнения Эйлера-Лагранжа для полей φ и Aμ будут включать члены, связанные с взаимодействием между этими полями.
Для получения уравнений движения для каждой переменной системы, необходимо применять принцип наименьшего действия, проводя вариацию по каждой из переменных (полям). Важно отметить, что в случае поля, взаимодействующего с другими полями или внешними источниками, необходимо учитывать вклад всех взаимодействий при выводе уравнений.
Для скалярного поля, взаимодействующего с электромагнитным полем, уравнение Эйлера-Лагранжа для поля φ будет иметь вид:
∂μ∂μφ + m2φ = gAμJμ,
что описывает взаимодействие между полем φ и электромагнитным полем. Для электромагнитного поля уравнение Эйлера-Лагранжа будет:
∂μFμν = gJν.
В квантовой теории поля уравнения Эйлера-Лагранжа играют важную роль в получении уравнений движения для полевых операторов. В квантовом контексте лагранжиан представляет собой оператор, и уравнения Эйлера-Лагранжа используются для вывода уравнений для квантовых полей. Например, уравнение Клейна-Гордона, полученное для скалярного поля, может быть квантовано, что приведет к уравнениям для квантовых флуктуаций поля.
Уравнения Эйлера-Лагранжа также важны при изучении взаимодействий и полевых квантизаций, поскольку они позволяют описывать взаимодействие частиц через обмен виртуальными частицами. Например, взаимодействие между фотонами и электронами можно описать с помощью лагранжиана электродинамики и полученных из него уравнений Эйлера-Лагранжа.
Уравнения Эйлера-Лагранжа для полевых систем служат фундаментальным инструментом в анализе динамики квантовых полей и их взаимодействий. Эти уравнения позволяют получить уравнения движения для различных полевых систем, включая как свободные поля, так и взаимодействующие. В квантовой теории поля они играют важную роль в описании взаимодействий частиц и в процессе квантования полей.