Условие отсутствия аномалий в калибровочных теориях

Аномалии в калибровочных теориях: формальные аспекты и условия их отсутствия

Аномалии в квантовой теории поля представляют собой нарушение классических симметрий после квантования. Особое значение имеют калибровочные аномалии, поскольку их наличие ведёт к несохраняемости калибровочных токов, а значит, к некорректности теории: нарушается унитарность, разрушается перенормируемость, и теория становится непригодной для описания взаимодействий.

Калибровочные аномалии возникают при квантовании теорий с фермионами, взаимодействующими с калибровочными полями. Они проявляются, в частности, в трехточечных диаграммах (т.н. диаграммах треугольника), в которых три внешние линии соответствуют калибровочным полям, а внутренняя петля состоит из фермионов.

Для избежания таких эффектов необходимо выполнение строгого условия отсутствия калибровочных аномалий, что накладывает ограничения на структуру представлений фермионных полей по отношению к калибровочной группе.

Фермионные петли и источник аномалий

Ключевой вклад в калибровочную аномалию вносит фермионная петля с тремя внешними калибровочными линиями. Рассмотрим общую ситуацию:

Имеется калибровочная группа G с калибровочными полями A_μ^a, соответствующими генераторам T^a в некотором представлении R. К фермионным полям ψ действует лагранжиан:

ℒ = iψ̄γ^μD_μψ, D_μ = ∂_μ − igA_μ^aT^a,

где T^a — матрицы представления, в котором живёт данный фермион.

После квантования возникает корректор функции тока третьего порядка, соответствующая диаграмме с тремя внешними калибровочными полями:

⟨J_μ^a(x)J_ν^b(y)J_ρ^c(z)⟩.

Расчёт петлевой диаграммы показывает, что её дивергенция может не исчезать, что означает нарушение симметрии на квантовом уровне.

Структура аномалии: тензорная формула

Общая структура аномального вклада определяется симметризацией над генераторами калибровочной группы. А именно, аномалия пропорциональна симметричному тензору третьего ранга:

d^abc = Tr_R({T^a, T^b}T^c),

где след берётся по соответствующему представлению R и {⋅, ⋅} — антикоммутатор. Наличие такого симметричного тензора означает, что аномалия ненулевая. Поэтому необходимым и достаточным условием для исчезновения калибровочной аномалии является:

∑_{все
фермионы}Tr_R({T^a, T^b}T^c) = 0.

Если в теории имеется несколько фермионных полей в различных представлениях, то сумма по их вкладам должна быть равна нулю.

Условие отсутствия аномалий в теории Янга–Миллса

Рассмотрим калибровочную группу G с произвольным числом генераторов и набор фермионов в представлениях R_i. Величина аномалии от каждого фермиона пропорциональна тензору d^abc(R_i). Тогда условие отсутствия аномалий записывается как:

∑_iℓ_i d^abc(R_i) = 0,

где ℓ_i — число поколений или кратность данного фермиона. Это условие должно выполняться для всех троек генераторов T^a, T^b, T^c калибровочной группы.

Для неабелевых групп с комплексными представлениями, таких как SU(N), тензор d^abc может быть ненулевым, в отличие от ортогональных групп или унитарных в самосопряжённых представлениях. Поэтому симметрия типа SU(N) требует тщательного подбора контента фермионов.

Специальный случай: U(1)-аномалия

Аномалии могут возникать даже в теориях с абелевой группой, например, U(1). Здесь единственным генератором является заряд Q, и условие отсутствия аномалии сводится к исчезновению суммы кубов зарядов всех фермионов:

∑_fQ_f³ = 0.

Это требование важно при конструировании моделей с дополнительными U(1)′ симметриями, таких как U(1)_B − L или U(1)_X в расширениях Стандартной модели.

Кроме того, существуют и смешанные аномалии, например, анoмалия U(1) × G × G, где G — неабелева группа. В этом случае возникает дополнительное условие:

∑_fQ_f Tr_R(T^aT^b) = 0,

что означает, что взвешенная сумма индексов представлений по зарядам должна исчезать.

Аномалия гравитационного типа и её условие

Существует и смешанная гравитационно-электрическая аномалия, связанная с треугольной диаграммой, в которой одна вершина — гравитационное поле, а две другие — калибровочные. Для U(1)-калибровки условие её исчезновения:

∑_fQ_f = 0,

то есть сумма всех зарядов по всем фермионам должна быть ноль. Это добавляет ещё одно ограничение при построении аномально-свободной теории.

Отмена аномалий: механизмы и практики

В некоторых случаях аномалии могут быть компенсированы путём добавления новых фермионов, обладающих противоположными вкладами в тензор d^abc. Это лежит в основе подхода к построению аномально-свободных моделей, в частности, при расширении Стандартной модели.

В других ситуациях применим механизм Грина–Шварца, известный из теории струн: аномалия компенсируется дополнительными топологическими членами в лагранжиане, взаимодействующими с псевдоскалярными полями (аксивидами). Однако в рамках стандартной квантовой теории поля без струн такой механизм не возникает естественно.

Пример: Стандартная модель и её аномальная структура

В Стандартной модели фермионы (кварки и лептоны) организованы таким образом, что все калибровочные аномалии сокращаются:

SU(3)³: следствие равного числа кварков в трёх цветах.
SU(2)³: аннулируется между левыми кварками и лептонами.
U(1)_Y³: сумма гиперзарядов в кубе по всем поколениям даёт нуль.
U(1)_Y × SU(2)², U(1)_Y × SU(3)²: устраняются балансом гиперзарядов и представлений.
Гравитационно-U(1)_Y-аномалия: сумма гиперзарядов обнуляется.

Эти сокращения происходят по каждому поколению, а значит, модель остаётся аномально-свободной при любом числе поколений — при условии одинаковой структуры.

Вывод: роль симметрии и согласования в квантовой теории поля

Таким образом, требование отсутствия калибровочных аномалий — это не просто техническое условие, а жёсткий принцип согласования квантовой теории поля. Его соблюдение гарантирует:

сохранение унитарности;
реализуемость калибровочной симметрии;
возможность перенормировки и предсказательной силы.

Любая теория фундаментальных взаимодействий, претендующая на реалистичность, обязана строго удовлетворять этим условиям. Аномалии, хотя и могут играть роль индикатора глубинной структуры (как, например, в топологических теориях), в контексте калибровочной динамики являются запретительными.