Топологические вихри и космические струны в квантовой теории поля
В системах с нарушением симметрии возможны устойчивые топологические дефекты, такие как вихри и струны. Такие решения возникают в теориях, где пространство вакуумных состояний (многообразие вырождения вакуума) имеет нетривиальную первую гомотопическую группу:
π1(ℳ) ≠ 0,
где ℳ = G/H — многообразие вакуума, G — исходная симметрия, H — симметрия остаточного вакуума. Элемент π1(ℳ) соответствует классу гомотопически неэквивалентных карт окружности в ℳ, что позволяет появлению устойчивых конфигураций, связанных с замкнутыми петлями или вихрями.
Рассмотрим лагранжиан:
ℒ = |∂μϕ|2 − λ(|ϕ|2 − v2)2,
где ϕ — комплексное скалярное поле, инвариантное относительно глобальной U(1)-симметрии. Минимумы потенциала определяются условием:
|ϕ| = v.
Таким образом, вакуумное многообразие изоморфно окружности S1, и
π1(S1) = ℤ.
Следовательно, возможны топологические конфигурации, охватывающие эту окружность, — вихри Абрикосова-Нильсена-Олефтина (АНО).
Для описания вихря в плоскости (x, y) с осью вдоль z выберем анзац:
ϕ(r, θ) = f(r)einθ,
где (r, θ) — полярные координаты, n ∈ ℤ — число обмотки. Граничные условия:
f(0) = 0, f(r → ∞) = v.
Энергия вихря на единицу длины вдоль z (линейная плотность энергии) имеет вклад от градиентной и потенциальной энергии:
$$ E = 2\pi \int_0^\infty dr\, r \left[ \left(\frac{df}{dr}\right)^2 + \frac{n^2}{r^2} f^2 + \lambda (f^2 - v^2)^2 \right]. $$
Решение f(r) получено численно. Оно описывает конфигурацию с ядром радиуса $R \sim 1/(\sqrt{\lambda}v)$, где поле сильно отклоняется от вакуума.
Добавим U(1)-калибровочное поле:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + |D_\mu \phi|^2 - \lambda (|\phi|^2 - v^2)^2, $$
где Dμ = ∂μ − ieAμ. Вихревое решение с магнитным потоком Φ реализуется с анзацем:
$$ \phi(r,\theta) = f(r) e^{i n \theta}, \quad A_\theta = \frac{n}{e} a(r), \quad A_r = 0. $$
Граничные условия:
f(0) = 0, a(0) = 0; f(∞) = v, a(∞) = 1.
Магнитное поле:
$$ B_z(r) = \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( \frac{n}{e} a(r) \right) = \frac{n}{e} \frac{a'(r)}{r}, $$
с сосредоточением потока в ядре струны. Магнитный поток квантуется:
$$ \Phi = \int d^2x\, B_z = \frac{2\pi n}{e}. $$
Подобные решения были впервые изучены в контексте теории Гинзбурга–Ландау как описание вихрей в сверхпроводниках второго рода (вихри Абрикосова). Они также играют центральную роль в моделях космических струн в ранней Вселенной, где симметрия нарушается на высоких масштабах.
Если в космологической фазе произошёл переход с нарушением U(1) симметрии, то формируются линейные дефекты — космические струны, окружённые флуктуациями поля, с топологией аналогичной вихрю АНO.
Общая энергия струны, будучи интегралом по поперечному сечению, оказывается конечной в калиброванной теории, но расходится логарифмически в некалиброванной. Это делает калибровочные струны (например, струны АНO) более физически приемлемыми кандидатами на роль космических струн.
Стабильность таких объектов гарантирована топологически: непрерывной деформацией нельзя перейти от конфигурации с числом обмотки n ≠ 0 к тривиальной (с n = 0).
Если спонтанное нарушение симметрии затрагивает не только U(1), но и большую группу (например, SU(2) × U(1)), струна может нести внутренние моды. Так возникают струны с током (superconducting strings), струны с фермионными модами (fermionic zero modes), и струны с Nambu–Goldstone модами вдоль направления струны.
Примером служат струны в моделях с симметрией:
G = SU(2) × U(1) → H = U(1),
где вакуумное многообразие — двумерная сфера S2, и появляются струны с внутренним ориентационным модулем — CP1-струны.
В теории с отношением $\lambda = \frac{e^2}{2}$ возможна реализация вихрей с минимальной энергией при заданном числе обмотки. Такие конфигурации удовлетворяют уравнениям Богомольного:
Dxϕ ± iDyϕ = 0, Bz = ±(v2 − |ϕ|2).
Энергия вихря равна:
E = 2πv2|n|,
и не зависит от деталей распределения поля, а определяется только топологией. Эти вихри называются BPS-вихрями.
Космические струны, обладая плотностью энергии, искривляют пространство-время. Метрика вне прямой струны описывается как конус:
ds2 = −dt2 + dz2 + dr2 + (1 − δ)2r2dθ2,
где δ — дефицит угла, связанный с линейной плотностью энергии μ:
δ = 8πGμ.
При μ ∼ 10−6MPl2, такой дефицит может вызывать наблюдаемые гравитационные линзы или нарушать анизотропию космического микроволнового фона.
Формирование космических струн происходит в результате фазового перехода, сопровождаемого спонтанным нарушением симметрии. Важную роль играет механизм Киббла: различия в выборе вакуума в причинно несвязанных областях приводят к образованию дефектов при сшивании. Пространственная плотность струн определяется масштабом перехода и характером симметрии.
Наблюдательные проявления:
Сверхсимметричные теории допускают струны с более богатой внутренней структурой: фермионные нулевые моды, локализованные на струне, позволяют реализовать струны с токами. В теориях великого объединения струны могут нести дополнительные калибровочные поля, что приводит к нестандартным механизмам нарушения симметрий и генерации барионного числа.
Пример — струны в теории SO(10) с цепочкой симметрий:
SO(10) → SU(5) → SU(3) × SU(2) × U(1),
при которых возникают дефекты с различными интерполяционными свойствами между фазами.
В контексте теории струн космические струны могут интерпретироваться как фундаментальные струны (F-струны), D-струны (D1-браны), или гибридные D/F-объекты. Их напряжение и взаимодействие определяются компактфикацией и характером калибровочных полей. В ряде моделей такие струны предсказывают плотность энергии, совместимую с космологическими наблюдениями.
Появление этих объектов особенно характерно в сценариях инфляции, индуцированной бранной динамикой, где столкновение D-бран может инициировать фазовый переход с образованием космических струн как остаточных объектов.
Неабелевы струны появляются в теориях с более сложной группой симметрии. Их вакуумное многообразие допускает нетривиальные π1, но также и более высокие гомотопические группы, что порождает гибридные конфигурации. В таких теориях струна может нести не только магнитный поток, но и внутреннюю ориентацию в пространстве непрерывных параметров (модули).
Это ведёт к эффективным двумерным теориям поля на струне (например, CPN − 1 модель), в которых возникают коллективные координаты и нулевые моды, описывающие динамику дефекта.