Восстановление континуального предела в квантовой теории поля
В квантовой теории поля (КТП) при численном или аналитическом анализе теорий на микроскопических масштабах стандартным методом становится регуляризация на решётке. Пространственно-временной континуум заменяется дискретной решёткой с шагом a, и поля определяются на узлах или рёбрах этой решётки. Это приводит к конечному числу степеней свободы в каждой фиксированной области пространства, упрощая вычисления и устраняя ультрафиолетовые (УФ) дивергенции.
Однако дискретизация приводит к потере локационной симметрии и непрерывности, нарушая важные свойства КТП — в частности, лоренц-инвариантность. Поэтому необходимо восстановить исходную непрерывную теорию в континуальном пределе a → 0.
Континуальный предел требует особого внимания: простой предел a → 0 без должного перенормирования параметров не приводит к физически осмысленной теории. Переход к континууму — это не просто математический лимит, а тонкий процесс, сопряжённый с перенормировкой, перенастройкой параметров модели, выбором правильной области фазового пространства и учётом критических свойств.
Основной идеей восстановления континуума является подход к критической точке решёточной теории. Критические точки характеризуются дивергентной корреляционной длиной ξ, выраженной в единицах решётки. Переход к континууму происходит в области, где:
a ≪ ξa = ξ̃ → ∞
то есть физическая корреляционная длина ξ̃ стремится к бесконечности при фиксированном a, или, эквивалентно, решёточная корреляционная длина ξ стремится к бесконечности при a → 0.
В этом режиме теория становится масштабно-инвариантной, что является признаком конформной инвариантности — ключевого свойства КТП в ультрафиолетовом пределе. Именно у критической точки реализуется полевая теория, описывающая долгопробежные (инфракрасные) флуктуации модели, а континуальный предел есть не что иное, как приближение к критической поверхности в пространстве параметров теории.
Континуальный предел невозможен без учета ренормализационной группы (РГ). При приближении к континууму, параметры теории — масса, константы взаимодействия, волновая функция — должны быть перенормированы таким образом, чтобы физические наблюдаемые оставались конечными. Это связано с тем, что при a → 0 УФ-режимы снова становятся значимыми, и без соответствующего масштабирования параметры уводятся в бесконечность.
Пусть g0(a) — bare-константа решёточной теории. Тогда:
gR(μ) = Zg(aμ) g0(a)
где μ — масштаб ренормализации, а Zg — функция перенормировки. В пределе a → 0, g0(a) → 0 или ∞, но физическая gR остаётся фиксированной и определяет КТП в континууме.
Решающее значение имеет поведение РГ-потока. Если существует УФ-фиксированная точка, то теория может быть определена в пределе a → 0, задавая фундаментальную КТП (асимптотически свободную или конформную). Если же УФ-фиксированная точка отсутствует, теория становится эффективной, определённой лишь при наличии УФ-среза.
На решётке, корреляционные функции имеют вид:
$$ \langle \phi(x) \phi(0) \rangle_a = \frac{1}{a^{2\Delta}} F\left( \frac{x}{a}, g_0(a) \right) $$
В континуальном пределе a → 0, при условии соответствующего масштабирования g0(a), мы ожидаем, что:
$$ \langle \phi(x) \phi(0) \rangle_a \to \frac{1}{|x|^{2\Delta_R}} \left( 1 + \mathcal{O}\left( \frac{1}{\mu |x|} \right) \right) $$
где ΔR — аномальная размерность поля, определяемая поведением теории вблизи фиксированной точки РГ. Таким образом, восстановление континуума включает не только устранение решёточных артефактов, но и переход от решёточных операторов к их ренормализованным континуальным аналогам.
Решётка, как правило, нарушает непрерывные симметрии — особенно лорац-инвариантность и калибровочную инвариантность. Эти симметрии восстанавливаются только в континуальном пределе, и их восстановление — дополнительный критерий корректности предела a → 0.
Для скалярных теорий нарушение лоренц-инвариантности проявляется в анизотропии дисперсионного соотношения. При a → 0, оно переходит к привычному:
E2 = p⃗ 2 + m2
Для калибровочных теорий, таких как КХД, требуется специальный выбор решёточной дискретизации (например, по Вильсону или через топологически защищённые конструкции), обеспечивающий правильную калибровочную структуру и асимптотическую свободу.
В численных симуляциях континуальный предел реализуется через экстраполяцию наблюдаемых при нескольких конечных a → 0. Например, для вычисления массового спектра в решёточной КХД измеряются массы в единицах решёточной массы (или в природных единицах через масштаб Λ), а затем осуществляется экстраполяция:
m(a) = mphys + c1a + c2a2 + …
где члены разложения зависят от типичной решёточной ошибки, связанной с выбором действия. Использование улучшенных действий (Symanzik-improved, clover, domain wall и пр.) позволяет сократить ошибки и ускорить сходимость к континууму.
Континуальный предел ассоциирован с подпространством параметров, на котором реализуется бесконечная корреляционная длина. Это пространство критических точек — критическая поверхность — играет фундаментальную роль в КТП, поскольку именно в её окрестности теория становится ренормализуемой.
Переход к континууму требует настройки bare-параметров на траектории, ведущей к фиксированной точке. Каждой ренормализуемой КТП соответствует устойчивая многообразная траектория (critical manifold), на которой влияние неренормализуемых операторов подавляется.
Таким образом, восстановление континуального предела — это геометрический процесс в пространстве теорий, заключающийся в движении по траекториям РГ к фиксированной точке, при этом соблюдая необходимое масштабирование параметров и физических наблюдаемых.
Фундаментальные теории поля (такие как КХД) определяются в континууме, но формально они возникают как континуальные пределы соответствующих решёточных моделей. Это обоснование даёт решёточный подход к КТП:
Таким образом, континуальный предел — не просто технический приём, а определяющий элемент квантовой теории поля, обеспечивающий согласованность с симметриями, ренормализуемость и физическую интерпретируемость модели.