Во многих квантовых полевых теориях, особенно в теориях с самопроизвольным нарушением симметрии, наблюдается характерное поведение при переходе к высокотемпературному режиму: симметрия, нарушенная при низких температурах, восстанавливается при повышении температуры. Этот эффект является прямым следствием квантово-статистической природы системы и обусловлен вкладом термальных флуктуаций в эффективный потенциал.
Пусть теория обладает скалярным полем ϕ, для которого при нулевой температуре вакуумное значение ⟨ϕ⟩ ≠ 0, что свидетельствует о спонтанном нарушении симметрии. При высоких температурах T ≫ 0 эффективный потенциал приобретает дополнительный температурозависимый вклад, который может изменять структуру минимума и, как следствие, приводить к восстановлению симметрии, то есть ⟨ϕ⟩ → 0.
Для анализа восстановления симметрии важно учитывать температурные поправки к эффективному потенциалу. Полный эффективный потенциал Vэфф(ϕ, T) можно представить как сумму:
Vэфф(ϕ, T) = V0(ϕ) + ΔVкв(ϕ) + ΔVT(ϕ, T),
где:
Наиболее распространённым способом вычисления ΔVT является применение формализма Мацубары (или функционального интеграла по евклидовой теории с периодическим временем τ ∈ [0, β], β = 1/T). При высоких температурах температурная поправка имеет вид (в приближении высоких температур):
$$ \Delta V_T(\phi, T) \approx \frac{T^2}{24} \sum_i n_i m_i^2(\phi), $$
где сумма ведётся по всем частицам, ni — число степеней свободы i-й частицы, а mi2(ϕ) — эффективная масса, зависящая от поля ϕ.
Таким образом, при росте температуры потенциальная кривая становится всё более «плоской» вблизи ϕ = 0, и минимум может сместиться в симметричную точку, приводя к восстановлению симметрии.
Рассмотрим простейший пример: теория с одним скалярным полем и потенциалом:
$$ V_0(\phi) = -\frac{\mu^2}{2} \phi^2 + \frac{\lambda}{4} \phi^4, \quad \mu^2 > 0, \; \lambda > 0. $$
Вакуумное среднее при T = 0:
$$ \langle \phi \rangle = \pm \sqrt{\frac{\mu^2}{\lambda}} \neq 0. $$
Добавим температурную поправку:
$$ V(\phi, T) \approx -\frac{\mu^2}{2} \phi^2 + \frac{\lambda}{4} \phi^4 + \frac{T^2}{24}(3\lambda) \phi^2. $$
Эффективная квадратичная часть:
$$ -\frac{\mu^2}{2} + \frac{T^2}{8} \lambda. $$
Критическая температура, при которой исчезает нарушение симметрии:
$$ T_c = \sqrt{\frac{8 \mu^2}{\lambda}}. $$
Для T > Tc минимум потенциала находится в точке ϕ = 0, и симметрия восстанавливается.
Анализ графика V(ϕ, T) при различных значениях температуры показывает типичную картину фазового перехода второго рода: при T < Tc потенциал имеет два минимума в точках ±v(T), причём v(T) убывает при увеличении T, стремясь к нулю при T → Tc; при T > Tc единственный минимум — в ϕ = 0.
Характер восстановления симметрии может быть различным в зависимости от формы потенциала и числа степеней свободы. В теории с простым потенциалом ϕ4 фазовый переход, как правило, второго рода (непрерывный). Однако при добавлении кубических членов, например за счёт взаимодействия с калибровочными полями (в терминах диаграмм — за счёт петлевых поправок), может возникать фазовый переход первого рода.
Такой переход характеризуется появлением потенциального барьера между симметричной и нессимметричной фазами. Энергетическая плотность может иметь скачок, что важно, например, в космологии ранней Вселенной — при сценариях бариогенеза.
В теориях с взаимодействующими калибровочными и фермионными полями температурные поправки имеют более сложную структуру. Вклад бозонов в эффективный потенциал при высокой температуре имеет знак, способствующий восстановлению симметрии:
$$ \Delta V_T^{\text{боз}}(\phi, T) \sim + \frac{T^2}{24} g^2 \phi^2, $$
тогда как вклад фермионов — противоположного знака:
$$ \Delta V_T^{\text{ферм}}(\phi, T) \sim - \frac{T^2}{48} y^2 \phi^2. $$
Это означает, что наличие сильносвязанных фермионных взаимодействий может замедлять или препятствовать восстановлению симметрии. В некоторых теориях фермионные вкладчики способны полностью отменить восстановление симметрии при высоких температурах (например, в супермассивных теориях Ньюмена).
Особый интерес представляет восстановление электрослабой симметрии в Стандартной модели. При температурах порядка 100–200 ГэВ (типичная шкала ранней Вселенной) хиггсовский механизм спонтанного нарушения симметрии нарушается, и все фермионы и калибровочные бозоны становятся безмассовыми. Эффективный потенциал хиггсовского поля содержит температурную поправку, в которой важную роль играет кубический член, генерируемый W и Z бозонами:
$$ V(\phi, T) \supset -\frac{1}{2} \mu^2 \phi^2 + \frac{1}{4} \lambda \phi^4 - E T \phi^3 + \cdots, $$
где E — коэффициент, зависящий от массы бозонов и констант связи. Этот член создаёт потенциальный барьер, что может приводить к фазовому переходу первого рода. Однако при физически допустимом значении массы бозона Хиггса mH ≈ 125 ГэВ, фазовый переход оказывается кроссовером (переходом без четкой фазовой границы). Это ставит ограничения на сценарии электрослабого бариогенеза, где требуется неравновесный фазовый переход.
В более сложных теориях с несколькими скалярными и калибровочными полями (например, в теории великого объединения или суперсимметричных моделях) температурные эффекты приводят к более богатой фазовой структуре. Возможны каскады восстановлений симметрий при последовательном нагревании системы. Например:
SU(5) → SU(3) × SU(2) × U(1) → SU(3) × U(1).
В таких теориях температура играет роль параметра, контролирующего структуру вакуума и динамику ранней Вселенной.
Термодинамические поправки можно вычислять несколькими методами:
Диаграммный (петлевой) подход: Вычисление термальных поправок к потенциалу через суммирование диаграмм Мацубары. Дает прозрачное понимание вклада различных частиц.
Функциональный интеграл: Использование эффективного действия в евклидовом пространстве с периодическим временем. Позволяет применять техники ренормализации и анализировать не только минимум, но и стабильность.
Методы решётки: Для сильно взаимодействующих теорий (например, КХД) не хватает возмущательной теории, и используется численный подход на решётке (lattice QFT), позволяющий наблюдать восстановление хиральной симметрии и разконфайнмент в КХД при T ∼ 150 МэВ.
В контексте космологии восстановление симметрии играет ключевую роль в сценариях ранней Вселенной:
Инфляция и постинфляционные переходы: при reheating температура достигает экстремальных значений, и симметрии, нарушенные сегодня, могли быть восстановлены.
Бариогенез: требуется отклонение от термального равновесия и нарушение CP-симметрии во время фазового перехода.
Магнитные монополи, струны, доменные стены: топологические дефекты могли быть образованы при восстановлении/нарушении симметрии.
Температурно-индуцированное восстановление симметрии тесно связано с теорией критических явлений. Близко к точке фазового перехода система может быть описана универсальными характеристиками: критическими индексами, корреляционной длиной и масштабной инвариантностью. Это позволяет применять мощные методы ренормализационной группы, в том числе для полевых теорий в трёх измерениях, которые описывают критическое поведение четырёхмерных теорий при высокой температуре.