Вычисление процессов рассеяния в КЭД

Квантовая электродинамика (КЭД) — это теория, описывающая взаимодействие между заряженными частицами и электромагнитным полем. Одной из ключевых задач в КЭД является вычисление амплитуд рассеяния для различных процессов, таких как рассеяние электрона на электроне или на фотоне. Эти вычисления лежат в основе понимания экспериментов и наблюдаемых явлений в области элементарных частиц и высоких энергий.

Процессы рассеяния в КЭД можно рассматривать как переходные явления между состояниями частиц, которые взаимодействуют через обмен фотонами — кванты электромагнитного поля. Для вычисления амплитуд рассеяния используются методы теории возмущений и диаграммы Фейнмана.

Основное уравнение для амплитуды рассеяния

В квантовой теории поля амплитуда рассеяния для двух исходных частиц, скажем, электрона и позитрона, которые взаимодействуют с обменом фотоном, выражается через матричный элемент ℳ, который связывает исходное и конечное состояния частиц. Основное уравнение для амплитуды рассеяния записывается как:

ℳ = ⟨f|Ĥ_int|i⟩

где Ĥ_int — это взаимодействие между частицами, которое в КЭД представлено операторами взаимодействия с фотоном.

Оператор взаимодействия

В КЭД оператор взаимодействия между электронами и электромагнитным полем можно записать как:

Ĥ_int = −e∫d⁴x ψ̄(x)γ^μψ(x)A_μ(x)

где e — заряд электрона, ψ(x) — фермионное поле (поле электрона), γ^μ — матрицы Дирака, а A_μ(x) — поле фотона.

Диаграммы Фейнмана

Одним из самых мощных инструментов для вычисления амплитуд рассеяния являются диаграммы Фейнмана. Они позволяют визуализировать взаимодействия частиц и упрощают процесс нахождения матричных элементов. Для простых процессов, таких как рассеяние электрона на электроне (процесс e⁺e⁻ → e⁺e⁻), существует несколько типов диаграмм.

Для этого процесса существует одна диаграмма Фейнмана на первом порядке теории возмущений:

• Прямой обмен фотоном: электрон обменивается фотоном с другим электроном. Это дает вклад в амплитуду рассеяния.

На более высоких порядках теории, например, на втором порядке, появляются дополнительные диаграммы, учитывающие виртуальные частицы (например, дополнительные фотонные обмены).

Правила Фейнмана для КЭД

Для того чтобы правильно интерпретировать диаграммы Фейнмана, необходимо использовать набор правил Фейнмана. Для процесса рассеяния электрона на электроне эти правила включают:

1. Фермионные линии: Каждая линия, представляющая фермион (например, электрон), имеет направление и должна быть помечена соответствующим фермионным полем ψ или ψ̄.
2. Фотонные линии: Каждая линия, представляющая фотон, представляет собой обмен фотоном, и она помечена полем A_μ.
3. Вертикальные вершины: Вершины диаграмм соответствуют взаимодействиям, связанным с оператором Ĥ_int.
4. Моментум: Каждый внешний конец линии фермиона и фотона связан с соответствующим моментом, и правила для сохранения момента следует соблюдать на каждой вершине.

Диаграмма Фейнмана для рассеяния e⁺e⁻ → e⁺e⁻

Для процесса e⁺e⁻ → e⁺e⁻ на первом порядке теории возмущений, диаграмма Фейнмана имеет следующий вид:

• Исходный электрон (e⁻) и позитрон (e⁺) приближаются и обмениваются виртуальным фотоном.
• На выходе мы получаем два электрона (e⁻) и два позитрона (e⁺).

Матричный элемент для этой диаграммы будет зависеть от четырехмерных компонентов четырех-векторов импульсов, таких как импульсы входных и выходных частиц, а также характеристик виртуального фотона, который обменяется между электронами.

Рассчёт амплитуды на первом порядке возмущений

На первом порядке теории возмущений, амплитуда рассеяния для процесса e⁺e⁻ → e⁺e⁻ может быть выражена через следующий интеграл по пространственно-временным координатам, с учётом всей необходимой симметрии и степеней свободы:

$$ \mathcal{M} = -ie^2 \bar{u}(p') \gamma^\mu u(p) \frac{-i g_{\mu\nu}}{q^2} \bar{v}(p'') \gamma^\nu v(p) $$

где u(p) и v(p) — это спинорные волновые функции для входных и выходных фермионов, q² — это квадрат четырёхимпульса виртуального фотона, а g_μν — метрический тензор.

Дифференциальное сечение

Для расчета дифференциального сечения рассеяния используется квадрат амплитуды рассеяния |ℳ|². Дифференциальное сечение для простого рассеяния, как например e⁺e⁻ → e⁺e⁻, можно записать как:

$$ d\sigma = \frac{|\mathcal{M}|^2}{4E_{\text{cm}}^2} d\Omega $$

где E_cm — энергия в центре масс, а dΩ — элемент угла рассеяния.

Высокие порядки теории возмущений

На более высоких порядках теории возмущений появляются дополнительные диаграммы, которые включают в себя более сложные взаимодействия и обмен виртуальными частицами. Например, на втором порядке возмущений могут появиться такие процессы, как дополнительные фотонные обмены между электронами, что приводит к более сложным выражениям для амплитуды рассеяния. В таких случаях требуется использование численных методов или приближений, таких как метод Монтекарло для вычисления интегралов по пространственно-временным координатам.

Заключение

Процесс вычисления амплитуд рассеяния в КЭД является сложным, но важным аспектом теоретической физики. С помощью диаграмм Фейнмана, правил Фейнмана и метода возмущений можно вычислить амплитуды и дифференциальные сечения для множества процессов. Эти вычисления лежат в основе проверки теоретических моделей на практике и являются основой для дальнейших исследований в области элементарных частиц и высоких энергий.