Естественное уширение спектральных линий
Каждое энергетическое состояние атома или молекулы обладает конечной продолжительностью существования. Это обусловлено тем, что возбуждённые состояния нестабильны и спонтанно переходят в состояния с меньшей энергией, испуская при этом фотон. В рамках квантовой механики данное поведение описывается через соотношение неопределённостей Гейзенберга:
$$ \Delta E \cdot \Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2} $$
где ΔE — неопределённость энергии, Δt — среднее время жизни состояния, ℏ — приведённая постоянная Планка. Поскольку частота фотона связана с энергией перехода E = hν, временное ограничение существования возбуждённого состояния ведёт к неопределённости частоты испускаемого излучения. Это и приводит к естественному уширению спектральной линии.
Спектральная линия, обусловленная естественным уширением, описывается лоренцевым (или лоренциевым) контуром:
$$ I(\nu) = I_0 \cdot \frac{1}{1 + \left( \frac{2(\nu - \nu_0)}{\Gamma} \right)^2} $$
где:
Ширина Γ связана с временем жизни возбуждённого состояния τ:
$$ \Gamma = \frac{1}{2\pi \tau} $$
Таким образом, чем короче время жизни состояния, тем шире линия и наоборот.
Механизм спонтанного испускания света лежит в основе естественного уширения. В отсутствие внешних факторов (таких как столкновения, доплеровское смещение и др.), единственным источником конечной ширины спектра является ограниченное время жизни состояний.
Для простейшего двухуровневого атома, находящегося в вакууме, частота перехода определяется разностью уровней энергии. Однако поскольку возбуждённое состояние нестабильно, энергия, соответствующая фотону, испытывает флуктуации, описываемые распределением Лоренца.
Время жизни состояния можно выразить через коэффициент Эйнштейна A21 — вероятность спонтанного перехода с уровня 2 на уровень 1:
$$ \tau = \frac{1}{A_{21}}, \quad \Rightarrow \quad \Gamma = \frac{A_{21}}{2\pi} $$
Таким образом, знание коэффициентов Эйнштейна позволяет вычислить естественное уширение линии без проведения спектроскопических измерений.
Естественное уширение, хотя и фундаментально обусловлено квантовой природой излучения, как правило, даёт очень малый вклад в наблюдаемую ширину спектральных линий. Типичные значения ширины порядка:
$$ \frac{\Gamma}{\nu_0} \sim 10^{-7} $$
Это означает, что естественное уширение существенно только при высокоточном спектроскопическом анализе или в условиях, когда все остальные виды уширения подавлены (например, в спектроскопии холодных атомов).
Естественное уширение также может быть понято через интерференцию квантовых амплитуд. Поскольку испущенное излучение описывается как амплитуда, осциллирующая во времени, её конечная длительность приводит к спектральному разбросу. Этот эффект аналогичен преобразованию Фурье: ограниченный по времени сигнал имеет спектр с конечной шириной.
Чем резче обрывается во времени волна, тем более широким становится её спектральное представление. Для экспоненциального затухания поля:
E(t) ∝ e−t/τ ⋅ e−iω0t
спектральное распределение I(ω) — это лоренцев контур с шириной, обратно пропорциональной τ.
Ширина линии напрямую связана с временем когерентности волны. Для волны, излучённой атомом, когерентность сохраняется на временном интервале порядка τ, после чего происходит декогеренция. Время когерентности tc обратно пропорционально ширине спектра:
$$ t_c \approx \frac{1}{\Gamma} $$
Таким образом, чем уже линия, тем более когерентным является излучение.
Для лазеров естественное уширение определяет естественную ширину линии генерации, если исключить все внешние факторы, такие как фазовые флуктуации, колебания зеркал, тепловые эффекты и пр. Однако на практике ширина линии лазера почти всегда гораздо больше, чем естественная, вследствие различных шумов и фазовой нестабильности.
Тем не менее, в системах с высокодобротными резонаторами и активной стабилизацией можно достичь генерации, близкой к естественной ширине. Это имеет важнейшее значение для лазерной спектроскопии высокой точности, атомных часов, интерферометрии и квантовой оптики.
Естественное уширение определяет предельную точность, с которой можно определить частоту атомного перехода. Ни одно измерение не может превзойти предел, накладываемый квантовой неопределённостью. Это особенно важно при разработке:
В молекулах, особенно многоатомных, картина усложняется из-за наличия внутренних степеней свободы: колебаний, вращений, туннельных переходов. Каждое состояние имеет своё время жизни, зависящее от множества параметров, включая нелучевые каналы релаксации. Тем не менее, для каждого перехода сохраняется фундаментальное соотношение:
$$ \Gamma = \frac{1}{2\pi \tau_{\text{eff}}} $$
где τeff — эффективное время жизни состояния с учётом всех механизмов распада. Таким образом, естественное уширение применимо и к сложным молекулярным системам, хотя его анализ требует учёта дополнительных эффектов.
Переход 2p → 1s в атоме водорода: τ ≈ 1.6 ⋅ 10−9 с ⇒ Γ ≈ 108 Гц
Переход в натрии (желтая D-линия, 589 нм): τ ≈ 1.6 ⋅ 10−8 с ⇒ Γ ≈ 107 Гц
Для сравнения: доплеровское уширение при комнатной температуре для тех же линий может составлять до десятков и сотен МГц, т.е. значительно превышать естественную ширину.
Естественное уширение представляет собой неустранимый квантовый предел точности, связанный с фундаментальной природой спонтанного испускания. Несмотря на его малость по сравнению с другими механизмами уширения, оно играет критическую роль в высокоточной физике и квантовой метрологии. Его учёт необходим при анализе тонкой структуры спектров, работе лазеров с узкой линией генерации, и построении точнейших стандартов времени и частоты.