Фазовые флуктуации в лазерах
Понятие фазы в когерентном излучении
Фаза электромагнитного поля лазерного излучения играет фундаментальную роль в описании его когерентных свойств. В идеализированной картине, лазерное излучение представляет собой монохроматическую волну с устойчивой амплитудой и строго определённой фазой. Однако в реальности на фазу накладываются случайные отклонения, обусловленные квантовыми и термическими флуктуациями в активной среде и резонаторе. Эти отклонения называются фазовыми флуктуациями, и они оказывают непосредственное влияние на спектральную ширину, стабильность частоты, временную когерентность и характеристики интерференции лазерного света.
Источники фазовых флуктуаций
Основным источником фазовых флуктуаций в лазерах являются спонтанные процессы излучения, сопровождающие вынужденную генерацию. Хотя вклад спонтанного излучения в полную мощность излучения невелик, оно разрушает идеальную фазовую когерентность поля. Каждый акт спонтанного излучения добавляет случайную фазовую составляющую в результирующую волну, вызывая её стохастические колебания во времени. Кроме того, на фазу влияют:
Все эти процессы могут быть описаны как стохастические возмущения, приводящие к случайному броуновскому дрейфу фазы лазерного поля.
Фазовый шум и спектральное уширение
Фазовые флуктуации приводят к уширению спектра лазерного излучения. В простейшей модели линейного фазового шума, когда фаза поля совершает броуновское движение (винеровский процесс), спектр излучения принимает лоренцеву форму. Ширина этой линии определяется скоростью накопления флуктуаций фазы, которая, в свою очередь, пропорциональна отношению спонтанного шума к интенсивности лазера.
При неограниченном росте дисперсии фазы с течением времени когерентность поля разрушается, несмотря на то, что амплитуда остаётся постоянной. Это выражается в экспоненциальном убывании корреляционной функции второго порядка:
$$ g^{(1)}(\tau) = \exp\left(-\frac{1}{2} \langle [\phi(t+\tau) - \phi(t)]^2 \rangle \right) $$
где ϕ(t) — фаза электрического поля.
Если ⟨[ϕ(t + τ) − ϕ(t)]2⟩ ∼ γτ, то
g(1)(τ) ∼ e−γτ/2
и спектральная ширина излучения равна Δν = γ/(2π).
Формула Шаулова-Таунса
Одной из ключевых количественных характеристик фазового шума является выражение для минимальной ширины спектра лазера, известное как формула Шаулова–Таунса:
$$ \Delta \nu = \frac{h \nu_0}{4\pi P} \cdot \frac{\gamma_c^2}{\gamma_s} $$
где:
Эта формула показывает, что фазовый шум тем меньше, чем выше мощность и добротность резонатора. Таким образом, для стабилизации фазы стремятся увеличивать мощность генерации и минимизировать потери.
Стохастическая модель фазы
Фазовые флуктуации можно моделировать с помощью стохастического дифференциального уравнения для комплексной амплитуды поля:
$$ \frac{dE(t)}{dt} = (\kappa - i \omega_0) E(t) + F(t) $$
где F(t) — шумовая функция, моделирующая спонтанное излучение, обычно рассматривается как белый гауссов шум, удовлетворяющий:
⟨F(t)⟩ = 0, ⟨F(t)F*(t′)⟩ = 2Dδ(t − t′)
Если записать поле в виде E(t) = A(t)eiϕ(t), можно вывести уравнение для фазовой эволюции:
$$ \frac{d\phi(t)}{dt} = \text{Im} \left( \frac{F(t)}{E(t)} \right) $$
В результате среднеквадратичное отклонение фазы нарастает линейно с временем, что соответствует диффузии фазы:
⟨[ϕ(t) − ϕ(0)]2⟩ = 2Dϕt
Фазовая когерентность и интерференция
Фазовая когерентность лазерного поля лежит в основе явлений интерференции. Наблюдаемость интерференционной картины определяется степенью сохранения фиксированной разности фаз между двумя когерентными источниками. Фазовые флуктуации приводят к временному смазыванию и исчезновению интерференционной картины.
Это особенно важно в таких приложениях, как:
Для устойчивой интерференции лазеров между собой требуется синхронизация их фаз — либо через общий резонатор, либо через внешнюю фазовую стабилизацию.
Учет фазовых флуктуаций в квантовой оптике
В квантовой оптике фазовые флуктуации описываются в рамках когерентных состояний поля. Когерентное состояние |α⟩ характеризуется неопределённостью фазы, обратной квадратному корню из среднего числа фотонов:
$$ \Delta \phi \sim \frac{1}{\sqrt{\bar{n}}} $$
Таким образом, даже в идеальных условиях наблюдается квантовая неустойчивость фазы. Это фундаментальное ограничение невозможно устранить, и оно особенно проявляется при малой мощности генерации. При переходе к более сложным квантовым состояниям, таким как сжатые или числовые состояния, фазовые флуктуации могут быть перераспределены, но не полностью устранены.
Методы подавления фазовых флуктуаций
Для минимизации фазовых шумов применяют следующие методы:
Влияние фазовых флуктуаций в различных типах лазеров
Разные классы лазеров характеризуются различным уровнем фазовой стабильности. Так, в диодных лазерах фазовые флуктуации значительны из-за низкой добротности резонатора и высокой чувствительности к температуре. В твердотельных и газовых лазерах ширина линии может быть существенно уже благодаря высокой стабильности активной среды.
В ультракороткоимпульсных лазерах фазовые флуктуации становятся ещё более критичными, особенно важна стабилизация так называемой carrier-envelope phase (CEP) — разности между огибающей и несущей частотой. От неё зависит форма каждого отдельного оптического импульса.
Закономерности и масштабы
При количественном анализе фазовых флуктуаций важны следующие масштабы:
В типичных условиях для гелий-неонового лазера длина когерентности может достигать десятков километров, тогда как для дешёвых диодных лазеров она ограничена сантиметрами.
Роль фазовых флуктуаций в лазерной физике
Фазовые флуктуации являются неотъемлемым элементом любой реалистичной модели лазера. Они ограничивают спектральную чистоту, влияют на возможности гетеродинной обработки сигналов, определяют точность фазовой интерферометрии и ставят фундаментальные пределы в лазерной метрологии. Управление фазовыми флуктуациями — ключевая задача при создании сверхстабильных источников света, квантовых сенсоров и оптических часов.