Фотонная статистика

Фотонная статистика в лазерной физике

Свет, в квантовом представлении, состоит из частиц — фотонов, квантов электромагнитного поля. Однако поведение фотонов в различных источниках света не является одинаковым. Даже при одинаковом среднем числе фотонов в пучке, различия в флуктуациях (шуме) и распределении фотонов по временам прихода приводят к различной физической реальности. Поэтому анализ статистических свойств фотонных потоков представляет собой фундаментальную задачу квантовой оптики и лазерной физики.

Фотонная статистика отражает вероятностное распределение числа фотонов в заданной моде или в определённом временном окне, и характеризуется различными типами: бозе-статистикой, пуассоновской статистикой и субпуассоновской статистикой. Тип статистики зависит от квантового состояния света.

Распределения фотонов

Тепловое (бозе-эйнштейновское) распределение

Это распределение характерно для классических источников света, таких как лампы накаливания, Солнце, тепловое излучение тел. Вероятность обнаружить n фотонов в данной моде задается выражением:

$$ P_n = \frac{\bar{n}^n}{(1+\bar{n})^{n+1}} $$

где n̄ — среднее число фотонов.

Ключевые особенности:

Максимум вероятности при n = 0.
Флуктуации превышают среднее значение: Δn² = n̄(n̄ + 1).
Свет с такими статистиками называют “суперпуассоновским” (шум выше пуассоновского).

Пуассоновское распределение

Пуассоновская статистика соответствует когерентному состоянию электромагнитного поля — такому, какое реализуется в идеальном лазере. Вероятность имеет вид:

$$ P_n = \frac{\bar{n}^n e^{-\bar{n}}}{n!} $$

Основные характеристики:

Флуктуации равны среднему: Δn² = n̄.
Когерентные состояния не обладают определённым числом фотонов, но имеют определённую фазу.
Свет с пуассоновской статистикой называют квантово-ограниченным.

Субпуассоновское распределение

В этом случае дисперсия числа фотонов меньше среднего:

Δn² < n̄

Такое поведение невозможно в рамках классической электродинамики и является чисто квантовым феноменом. Субпуассоновская статистика наблюдается, например, в сжимаемых (squeezed) состояниях света и одиночных фотонных источниках.

Второй порядок когерентности g⁽²⁾(τ)

Для экспериментального определения статистики фотонов используется функция второго порядка когерентности:

$$ g^{(2)}(\tau) = \frac{\langle \hat{I}(t) \hat{I}(t+\tau) \rangle}{\langle \hat{I}(t) \rangle^2} $$

где Î(t) — оператор интенсивности. Важным является значение при τ = 0:

Тепловой свет: g⁽²⁾(0) = 2
Когерентный свет: g⁽²⁾(0) = 1
Субпуассоновский свет: g⁽²⁾(0) < 1

Значения g⁽²⁾(0) < 1 свидетельствуют о подавлении флуктуаций и антикумуляции фотонов — ключевом признаке неклассичности света.

Эффект антибандлинга фотонов

Антибандлинг (anti-bunching) означает, что вероятность прихода двух фотонов одновременно ниже, чем в пуассоновском потоке. Этот эффект является убедительным доказательством квантовой природы света и впервые был продемонстрирован в экспериментах Хана и Кимбла в 1977 году.

Экспериментально: с помощью корреляционного детектора Хана-Алманда, измеряется корреляция между фотонами, пришедшими в два детектора. Если свет антибандлирован, то корреляция на нуле времени (τ = 0) оказывается ниже, чем при больших τ.

Применение фотонной статистики в лазерной физике

Оценка качества лазеров

Фотонная статистика позволяет отличить:

шумный лазер (переходный режим, многомодовый) с g⁽²⁾(0) > 1,
стабильный, одночастотный лазер с g⁽²⁾(0) ≈ 1,
квантово-подавленные лазеры с g⁽²⁾(0) < 1.

Диагностика квантовых источников света

Источники одиночных фотонов, используемые в квантовой криптографии и квантовых вычислениях, демонстрируют субпуассоновскую статистику и антибандлинг. Их проверка осуществляется с помощью измерения g⁽²⁾(0).

Анализ перехода к лазерной генерации

При изменении тока накачки лазера, фотонная статистика изменяется от тепловой (спонтанное излучение) к пуассоновской (когерентная генерация). Это позволяет точно определить порог лазерной генерации.

Фотонная статистика и фазовое пространство: квазиклассические распределения

Для полного описания квантового состояния света используют квазипробабельностные распределения в фазовом пространстве, такие как:

W-функция (Вигнера) — квазиплотность вероятности, способная принимать отрицательные значения, что свидетельствует о квантовых эффектах.
P-функция (Глаубера-Сударшана) — для когерентных состояний она — дельта-функция; для неклассических состояний может быть сингулярной или неотрицательной функцией.
Q-функция (Гусими) — всегда положительна, сглаживает квантовые особенности.

Каждое распределение даёт различную информацию о поле, и используется в зависимости от задачи: от моделирования флуктуаций до визуализации неклассичности.

Механизмы формирования статистики в лазерах

В реальных лазерах статистика фотонов определяется:

Случайными процессами спонтанного излучения, запускающими генерацию;
Скоростью релаксации и временем жизни мод;
Шумами накачки;
Межмодовой конкуренцией;
Обратной связью и нелинейными эффектами в резонаторе.

Моделирование этих процессов осуществляется через уравнения мастер-уравнений и стохастические дифференциальные уравнения Ланжевена, где можно получить не только средние значения, но и распределения и флуктуации.

Экспериментальные методы регистрации фотонной статистики

Корреляторы Хана-Алманда — измеряют g⁽²⁾(τ) с временным разрешением.
Фотонные счётчики — фиксируют распределение числа фотонов.
Гомодинная/гетеродинная детекция — позволяют измерить квазипробабельностные распределения.
Методы временного таггинга — используются для анализа одиночных фотонов и их корреляций.

Современные направления исследований

Исследование статистики в лазерах на полупроводниковых наноструктурах (квантовые точки, нанорезонаторы).
Статистика фотонов в оптических частотно-гребенчатых генераторах (frequency combs).
Фотонная статистика в сверхкоротких импульсах (фемтосекундная оптика).
Использование неклассических состояний света в метрологии и квантовых технологиях.

Фотонная статистика является не только фундаментальной областью, но и практическим инструментом, определяющим границы возможностей современных и будущих фотонных технологий.