Основы описания гауссовых пучков
Гауссов пучок представляет собой особое решение волнового уравнения в параксиальном приближении, которое обладает рядом уникальных свойств. Это решение описывает наилучшее фокусируемое распространение света в дифракционно ограниченном режиме. При этом распределение амплитуды поперечного профиля поля имеет форму гауссовой функции, откуда и происходит название.
В оптической резонаторной и лазерной физике гауссовы пучки играют фундаментальную роль, поскольку они описывают фундаментальную (основную) моду большинства резонаторов. Их математическая строгость и физическая реализуемость делают гауссовы пучки идеальной моделью для анализа лазерного излучения.
Математическое описание гауссова пучка
В параксиальном приближении волновое уравнение для скалярного поля U(x, y, z) принимает вид:
$$ \left( \nabla_\perp^2 + 2ik \frac{\partial}{\partial z} \right) U(x, y, z) = 0, $$
где ∇⟂2 — лапласиан по поперечным координатам x и y, $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число.
Решение в виде гауссова пучка для поперечного профиля может быть записано в виде:
$$ U(x, y, z) = U_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp\left( -\frac{x^2 + y^2}{w^2(z)} \right) \exp\left( -ikz - ik \frac{x^2 + y^2}{2R(z)} + i\zeta(z) \right), $$
где:
Основные параметры гауссова пучка
$$ w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left( \frac{z}{z_R} \right)^2 }, $$
где zR — длина Рэлея:
$$ z_R = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}. $$
Эта величина характеризует расстояние от перетяжки, на котором площадь поперечного сечения пучка возрастает в два раза, а интенсивность — падает в два раза.
$$ R(z) = z \left[ 1 + \left( \frac{z_R}{z} \right)^2 \right]. $$
Вблизи перетяжки R(z) → ∞, что соответствует плоскому волновому фронту. При больших z, R(z) → z, что соответствует сферической волне.
$$ \zeta(z) = \arctan\left( \frac{z}{z_R} \right). $$
Она представляет собой дополнительный фазовый сдвиг, возникающий при фокусировке пучка, и достигает π/2 на бесконечности.
Интенсивностный профиль гауссова пучка
Интенсивность излучения описывается квадратом модуля поля:
$$ I(x, y, z) = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp\left( -2 \frac{x^2 + y^2}{w^2(z)} \right), $$
где I0 — пиковая интенсивность на оси в точке перетяжки.
Этот профиль обладает высокой степенью симметрии и стремительно убывает от центра, что делает гауссов пучок удобным для описания слабо расходящегося лазерного излучения.
Сходимость пучка и угол дивергенции
Дивергенция пучка (угол расхождения) определяется как:
$$ \theta = \frac{\lambda}{\pi w_0}, $$
и характеризует угловую ширину пучка при z ≫ zR. Чем меньше перетяжка w0, тем больше угол дивергенции. Это соответствует соотношению неопределённостей в оптике: невозможно одновременно иметь малый диаметр пучка и малую дивергенцию.
Мощность гауссова пучка
Полная мощность излучения (в предположении осесимметричного профиля) выражается через пиковую интенсивность:
$$ P = \int I(r, z)\, dS = \frac{\pi}{2} w^2(z) I_0(z). $$
Поскольку w(z) возрастает с расстоянием от перетяжки, а I0(z) убывает, мощность остаётся постоянной по всей длине пучка, что согласуется с законами сохранения энергии.
Фазовая структура и фронты волны
Гауссов пучок не является плоской волной. Его волновой фронт сферически искривлён, причём кривизна зависит от расстояния до перетяжки. Это важно учитывать при согласовании пучка с оптическими элементами, такими как зеркала, линзы и резонаторы.
Модовые структуры: высшие поперечные моды
Гауссов пучок описывает основную (фундаментальную) TEM00 моду. Однако в более сложных конфигурациях возможны возбуждения высших поперечных мод — например, мод Эрмита–Гаусса (HGmn) и Лагерра–Гаусса (LGpl). Они имеют вид:
$$ U_{mn}(x, y, z) = U_0 H_m\left( \frac{\sqrt{2}x}{w(z)} \right) H_n\left( \frac{\sqrt{2}y}{w(z)} \right) \exp\left( -\frac{x^2 + y^2}{w^2(z)} \right) \cdot (\text{фазовые множители}), $$
где Hm — многочлены Эрмита.
$$ U_{pl}(r, \phi, z) = U_0 \left( \frac{r}{w(z)} \right)^{|l|} L_p^{|l|} \left( \frac{2r^2}{w^2(z)} \right) \exp\left( -\frac{r^2}{w^2(z)} \right) e^{il\phi} \cdot (\text{фазовые множители}), $$
где Lp|l| — обобщённые многочлены Лагерра.
Эти моды описывают возможные поперечные распределения поля в резонаторах с более сложной геометрией или при возбуждении более высоких мод генерации.
Гауссов пучок и линзовая оптика
Преломление гауссова пучка через тонкую линзу может быть описано через преобразование параметра кривизны пучка. Используется комплексный параметр пучка q(z), определяемый как:
$$ \frac{1}{q(z)} = \frac{1}{R(z)} - i \frac{\lambda}{\pi w^2(z)}. $$
После прохождения через линзу с фокусным расстоянием f параметр q трансформируется по закону:
$$ q' = \frac{q}{1 - \frac{q}{f}}. $$
Это позволяет анализировать поведение пучка при прохождении через системы линз и зеркал, в том числе в составе резонаторов.
Применение и физические аспекты
Гауссовы пучки лежат в основе теории резонаторов, описания фокусировки лазерного излучения, согласования оптических систем и передачи энергии в пространстве. Они также важны для квантовой оптики, где гауссовые моды используются как базисные функции в описании фотонных состояний.
В реальных условиях генерация идеального гауссова пучка невозможна, однако современные лазеры (особенно одночастотные и одно-модовые) способны приближаться к TEM00-профилю с высокой степенью точности. Это делает гауссов пучок универсальным инструментом как для теоретического анализа, так и для практических применений в лазерной технике.