Коэффициент усиления — ключевой параметр в лазерной физике, характеризующий способность активной среды усиливать электромагнитное излучение за счёт индуцированного излучения. Его введение связано с необходимостью количественного описания роста амплитуды или интенсивности света при прохождении через усиливающую среду.
Если вдоль направления распространения световой волны с интенсивностью I(z) в среде происходит усиление, то изменение интенсивности можно выразить как:
$$ \frac{dI(z)}{dz} = g(\nu) I(z) $$
где I(z) — интенсивность излучения на координате z, g(ν) — коэффициент усиления на частоте ν, z — координата вдоль направления распространения пучка.
Таким образом, коэффициент усиления g(ν) имеет размерность обратной длины и описывает экспоненциальный рост интенсивности вдоль пути в усиливающей среде:
I(z) = I0eg(ν)z
Основа усиления в лазерах — индуцированное излучение, происходящее при наличии инверсной заселённости между двумя уровнями. Инверсная заселённость определяется как:
ΔN = N2 − N1
где N2 — число частиц на верхнем уровне, N1 — число частиц на нижнем уровне.
В случае двухуровневой системы, если ΔN > 0, то излучение усиливается. При этом коэффициент усиления зависит от плотности вероятности индуцированного перехода и от спектрального распределения линий:
g(ν) = σ(ν)ΔN
где σ(ν) — спектральное сечение индуцированного излучения.
Спектральное сечение индуцированного перехода σ(ν) описывает вероятность взаимодействия фотона данной частоты с атомом, находящимся в возбужденном состоянии. Оно определяется через линию поглощения или излучения и учитывает механизм уширения:
σ(ν) = σ0f(ν)
где σ0 — максимальное значение сечения на резонансной частоте ν0, f(ν) — нормированная функция распределения (например, гауссовская или лоренцевская).
Тип функции f(ν) зависит от механизма уширения (доплеровское, столкновительное и т. д.).
Для случая доплеровского уширения, где функция распределения имеет гауссовскую форму, коэффициент усиления запишется следующим образом:
$$ g(\nu) = \frac{\Delta N \cdot \sigma_0}{\sqrt{\pi} \Delta \nu_D} \exp\left[ -\left( \frac{\nu - \nu_0}{\Delta \nu_D} \right)^2 \right] $$
где ΔνD — ширина доплеровского уширения на уровне 1/e, ν0 — центральная (резонансная) частота.
Максимальное значение коэффициента усиления достигается при ν = ν0:
$$ g_{\text{max}} = \frac{\Delta N \cdot \sigma_0}{\sqrt{\pi} \Delta \nu_D} $$
В отсутствии инверсии заселённостей (ΔN < 0), излучение не усиливается, а ослабляется. В этом случае коэффициент усиления становится отрицательным и переходит в коэффициент поглощения:
α(ν) = −g(ν) = σ(ν)(N1 − N2)
Таким образом, поглощение и усиление — это два аспекта одного и того же физического процесса, зависящего от знака разности населённостей энергетических уровней.
Если активная среда неоднородна (например, при наличии пространственного распределения инверсии заселённостей), то коэффициент усиления становится функцией координаты:
$$ \frac{dI(z)}{dz} = g(\nu, z) I(z) $$
и интегральный рост интенсивности выражается как:
I(L) = I0exp (∫0Lg(ν, z) dz)
где L — длина усиливающей среды.
В условиях сильного излучения инверсная заселённость уменьшается вследствие опустошения верхнего уровня и заселения нижнего — возникает эффект насыщения усиления. Это приводит к уменьшению коэффициента усиления с ростом интенсивности:
$$ g(\nu, I) = \frac{g_0(\nu)}{1 + \frac{I}{I_{\text{sat}}}} $$
где g0(ν) — коэффициент усиления в линейном (ненасыщенном) режиме, Isat — интенсивность насыщения, при которой усиление уменьшается вдвое.
Эта зависимость особенно важна при описании динамики лазера, пороговых условий и устойчивости генерации.
Длина усиления lg — это характерная длина, за которую интенсивность увеличивается в e раз:
$$ l_g = \frac{1}{g(\nu)} $$
Этот параметр определяет эффективность среды. Чем выше коэффициент усиления, тем короче длина усиления.
Также вводится понятие усиления на единицу длины:
G = exp (gL)
где G — коэффициент усиления за длину L. Это значение часто используется для оценки усилительных свойств активной среды в лазере.
В рубиновом лазере используется переход между уровнем возбуждённого состояния трёхуровневой системы и основным состоянием. Усиление происходит при длине волны около 694,3 нм. Типичное значение коэффициента усиления может достигать g ≈ 10 см−1, что обеспечивает экспоненциальный рост интенсивности на коротких длинах кристалла.
Однако необходимо обеспечить достаточную инверсную заселённость, что требует интенсивной накачки, поскольку нижний уровень совпадает с основным, и его нужно максимально “очистить”.
Поскольку излучение в лазере может быть не монохроматичным, важно учитывать вклад всех частот. Усиление определяется интеграцией по частотному распределению:
G = ∫g(ν) dν
Это выражение особенно актуально при оценке усиления широкополосного импульсного лазера или при анализе усиления шумов (спонтанных флуктуаций).
Коэффициент усиления определяет условие порога генерации. Для устойчивой генерации лазера необходимо, чтобы усиление на длине резонатора компенсировало все потери, включая отражение, рассеяние и поглощение:
$$ g(\nu) L \geq \ln\left( \frac{1}{R_1 R_2} \right) + \alpha L $$
где R1, R2 — коэффициенты отражения зеркал резонатора, α — коэффициент потерь в среде.
Таким образом, знание и управление коэффициентом усиления критично для проектирования и эксплуатации лазеров.