Коэффициенты Эйнштейна

Коэффициенты Эйнштейна в лазерной физике

При рассмотрении взаимодействия электромагнитного излучения с атомными или молекулярными системами, особенно в условиях квантовой теории, важно учитывать три фундаментальных процесса: поглощение, спонтанное излучение и вынужденное (индуцированное) излучение. Эти процессы были количественно описаны Альбертом Эйнштейном в 1916 году при введении так называемых коэффициентов Эйнштейна, которые легли в основу квантовой теории излучения и стали краеугольным камнем лазерной физики.

Двухуровневая система и основные определения

Рассмотрим простейшую двухуровневую систему с нижним энергетическим уровнем E₁ и верхним уровнем E₂, где E₂ > E₁. Частота перехода между уровнями определяется соотношением

$$ \nu = \frac{E_2 - E_1}{h} $$

где h — постоянная Планка.

Пусть N₁ и N₂ — численности атомов на уровнях E₁ и E₂ соответственно. Тогда процессы взаимодействия с излучением можно описать тремя вероятностями:

B₁₂: коэффициент Эйнштейна для поглощения фотона частоты ν,
B₂₁: коэффициент Эйнштейна для вынужденного излучения фотона той же частоты,
A₂₁: коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения.

Энергетическая плотность излучения

Пусть ρ(ν) — спектральная плотность энергии электромагнитного излучения при частоте ν. Тогда:

Вероятность поглощения фотона на единицу времени:

W₁₂ = B₁₂ρ(ν)
Вероятность вынужденного излучения на единицу времени:

W₂₁^вын = B₂₁ρ(ν)
Вероятность спонтанного излучения на единицу времени:

W₂₁^сп = A₂₁

Общая вероятность перехода с уровня E₂ на E₁ составляет сумму:

W₂₁ = A₂₁ + B₂₁ρ(ν)

Равновесие и связь между коэффициентами

В условиях термодинамического равновесия, при заданной температуре T, численности N₁ и N₂ связаны распределением Больцмана:

$$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{g_2}{g_1} \exp\left( -\frac{h\nu}{kT} \right) $$

где g₁ и g₂ — статистические веса уровней, k — постоянная Больцмана.

Равновесие подразумевает баланс между поглощением и излучением:

N₁B₁₂ρ(ν) = N₂[A₂₁ + B₂₁ρ(ν)]

Подставляя соотношение Больцмана и преобразуя, получаем:

$$ \rho(\nu) = \frac{A_{21}}{B_{12} \frac{g_1}{g_2} e^{\frac{h\nu}{kT}} - B_{21}} $$

С другой стороны, излучение в термодинамическом равновесии подчиняется формуле Планка:

$$ \rho(\nu) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu / kT} - 1} $$

Сравнение этих выражений позволяет получить соотношения между коэффициентами Эйнштейна:

$$ \frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3} $$
$$ \frac{B_{12}}{B_{21}} = \frac{g_2}{g_1} $$

Таким образом, спонтанное излучение напрямую связано с индуцированным через спектральную плотность энергии, а коэффициенты поглощения и вынужденного излучения пропорциональны статистическим весам.

Физическая интерпретация коэффициентов Эйнштейна

Коэффициент B₁₂ описывает вероятность того, что атом на нижнем уровне поглотит фотон с частотой ν и перейдёт на уровень E₂. Эта вероятность пропорциональна плотности энергии излучения ρ(ν).
Коэффициент B₂₁ описывает вероятность вынужденного перехода с уровня E₂ на E₁ под действием внешнего поля, также пропорционального ρ(ν). Именно этот процесс лежит в основе усиления света в лазере.
Коэффициент A₂₁ характеризует вероятность самопроизвольного перехода атома с высшего уровня на нижний с испусканием фотона. Это неконтролируемый процесс, важный в условиях отсутствия внешнего излучения.

Отношение спонтанного и вынужденного излучения

Выражение для отношения вероятностей этих процессов:

$$ \frac{W_{\text{сп}}}{W_{\text{вын}}} = \frac{A_{21}}{B_{21} \rho(\nu)} = \frac{8\pi h \nu^3 / c^3}{\rho(\nu)} $$

Из этой формулы следует:

при высокой плотности энергии ρ(ν) (например, в мощном электромагнитном поле), вероятность вынужденного излучения становится сравнимой или даже превышает вероятность спонтанного;
при низкой ρ(ν) (например, при отсутствии внешнего поля) доминирует спонтанное излучение.

Это объясняет, почему в обычных условиях наблюдается спонтанная люминесценция, а в условиях усиленного поля — вынужденное излучение, необходимое для генерации когерентного света в лазерах.

Значение коэффициентов Эйнштейна для лазерной физики

Лазер работает за счёт усиления света при вынужденном излучении, когда возбужденные атомы (или молекулы) под действием внешнего фотона испускают новые, когерентные фотоны. Важными условиями являются:

наличие инверсной заселённости: $N_2 > \frac{g_2}{g_1} N_1$,
длительное время жизни верхнего уровня, чтобы обеспечить накопление возбуждённых частиц (высокое отношение A₂₁/B₂₁),
резонанс с частотой внешнего поля.

Коэффициенты Эйнштейна позволяют количественно описывать условия генерации, усилия и поглощения света в активной среде лазера. В частности, коэффициенты участвуют в уравнениях баланса численностей уровней, в описании усиления в среде, а также в моделях насыщения и линейной/нелинейной оптики.

Практическое применение

Для реальных лазерных систем знание коэффициентов Эйнштейна позволяет:

рассчитать коэффициенты усиления среды;
оценить эффективную длину активного элемента;
предсказать спектральные характеристики излучения;
определить порог генерации;
смоделировать динамику работы лазера (в импульсном и непрерывном режимах);
оптимизировать условия накачки и релаксации.

Кроме того, в лазерной спектроскопии и квантовой оптике эти коэффициенты используются для анализа линейных и нелинейных взаимодействий света с веществом, в том числе при описании процессов насыщения, усиления, генерации, многоквантовых переходов и переходов с участием квантовых корреляций.

Заключительные замечания по теории

Формализм Эйнштейна сохраняет актуальность и в современной квантовой электродинамике, где его коэффициенты могут быть получены более строго из фундаментальных принципов. Тем не менее, их простота и физическая наглядность делают их незаменимым инструментом для описания и понимания принципов работы лазеров и взаимодействия излучения с веществом.