Населенности энергетических уровней

Квантовые уровни энергии в атомных и молекулярных системах

Атомы и молекулы обладают дискретным спектром энергетических уровней, определяемым их квантовой структурой. Переходы между этими уровнями сопровождаются либо поглощением, либо испусканием фотона. Вероятность нахождения атома или молекулы в определённом энергетическом состоянии характеризуется его населённостью — числом частиц в данном состоянии. Эти населённости играют фундаментальную роль в описании процессов взаимодействия света с веществом, в том числе в механизмах, лежащих в основе лазерного излучения.

Термическое распределение: распределение Больцмана

В условиях термодинамического равновесия населённости энергетических уровней подчиняются распределению Больцмана. Для двух уровней с энергиями E₁ и E₂ (где E₂ > E₁), населённости N₁ и N₂ связаны соотношением:

$$ \frac{N_2}{N_1} = \frac{g_2}{g_1} \exp\left(-\frac{E_2 - E_1}{k_B T}\right) $$

где:

g₁, g₂ — статистические веса уровней,
k_B — постоянная Больцмана,
T — абсолютная температура.

Это соотношение показывает, что в равновесии населённость более высокого уровня всегда меньше, чем нижнего. Чем выше энергия уровня, тем меньше его населённость при заданной температуре.

Принцип инверсии населённости

Для возникновения усиления света за счёт вынужденного излучения требуется, чтобы населённость верхнего уровня была больше, чем нижнего, то есть:

N₂ > N₁

Это условие называется инверсией населённости. Оно противоречит распределению Больцмана и, следовательно, не может быть реализовано в условиях термодинамического равновесия. Поэтому для создания инверсии необходимо использовать внешние источники энергии (накачку), чтобы вывести систему из равновесия.

Реализация инверсии населённости

Для создания инверсии применяются различные методы накачки: оптическая, электрическая, химическая и др. Конкретный способ зависит от типа активной среды и структуры энергетических уровней.

Наиболее просто инверсия достигается в трёх- и четырёхуровневых схемах, в отличие от двухуровневой системы, где инверсия практически невозможна из-за равновесия между поглощением и вынужденным излучением.

Двухуровневая система: невозможность инверсии

Рассмотрим систему с двумя уровнями E₁ и E₂. При накачке фотонами с энергией hν = E₂ − E₁, атомы возбуждаются с уровня E₁ на уровень E₂, а одновременно происходят процессы вынужденного и спонтанного излучения. При равных вероятностях поглощения и вынужденного излучения максимум, чего можно достичь, — это равные населённости: N₁ = N₂. Таким образом, инверсии в двухуровневой системе добиться невозможно.

Трёхуровневая система: достижение инверсии

В трёхуровневой системе имеется уровень накачки E₃, быстро релаксирующий на метастабильный уровень E₂, с которого происходит лазерный переход на уровень E₁. Благодаря короткому времени жизни уровня E₃, он не накапливает значительной населённости, и атомы эффективно скапливаются на уровне E₂. Условие N₂ > N₁ может быть выполнено, особенно если уровень E₁ — это основной уровень с малой начальной заселённостью.

Однако есть и ограничения: требуется сильная накачка, так как уровень E₁ в начале заселён, и его нужно опустошить, прежде чем достичь инверсии.

Четырёхуровневая система: эффективная инверсия

Четырёхуровневая схема включает дополнительный нижний уровень E₀, находящийся ниже уровня E₁, на который быстро релаксируют атомы после лазерного перехода. Таким образом, уровень E₁ остаётся практически незаселённым, а уровень E₂ — метастабильным. Это позволяет достичь инверсии даже при умеренной интенсивности накачки:

N₂ ≫ N₁ ≈ 0

Такая схема реализуется в большинстве современных лазеров, включая лазеры на Nd:YAG, He-Ne и другие.

Населённости и коэффициенты Эйнштейна

Связь между населённостями и интенсивностью взаимодействия с излучением определяется коэффициентами Эйнштейна A, B₁₂, B₂₁. Объёмная плотность мощности, передаваемой от излучения к среде и обратно, зависит от:

коэффициента спонтанного излучения A₂₁,
коэффициента вынужденного излучения B₂₁,
коэффициента поглощения B₁₂,
плотности энергии излучения ρ(ν).

Величина разности населённостей $\Delta N = N_2 - \frac{g_2}{g_1} N_1$ определяет знак и величину коэффициента усиления. При положительной инверсии (ΔN > 0) происходит усиление, при отрицательной — поглощение.

Дифференциальное уравнение для изменения населённостей

Процесс накачки и релаксации может быть описан системой кинетических уравнений для населённостей:

$$ \frac{dN_2}{dt} = R - \frac{N_2}{\tau} - W_{21} N_2 + W_{12} N_1 $$

$$ \frac{dN_1}{dt} = -W_{12} N_1 + W_{21} N_2 + \frac{N_2}{\tau} $$

где:

R — скорость накачки,
τ — время жизни возбуждённого состояния,
W₁₂, W₂₁ — вероятности переходов.

Стационарные решения этих уравнений позволяют определить условия достижения инверсии населённости.

Роль метастабильных состояний

Ключевым фактором в устойчивом создании инверсии является наличие метастабильных уровней — состояний с длительным временем жизни. Благодаря этому обеспечивается накопление населённости, достаточной для инверсии. Время жизни метастабильного уровня должно быть существенно больше времени релаксации других состояний.

Реализация инверсии в различных средах

В газовых, твердотельных, жидкостных и полупроводниковых лазерах механизмы достижения инверсии отличаются.

Газовые лазеры используют электрический разряд или обмен энергией в результате столкновений (например, He-Ne лазер).
Твердотельные лазеры — оптическую накачку, часто с использованием ламп или диодов.
Полупроводниковые лазеры применяют инжекцию носителей тока в p-n переходе.
Жидкостные лазеры (красители) полагаются на широкие спектры возбуждения и быструю релаксацию.

Во всех случаях правильная инженерия уровней и контроль времён жизни являются определяющими для получения и поддержания инверсии.

Насыщение переходов и клиппинг инверсии

При высоких плотностях фотонов возможна ситуация насыщения переходов, когда все возможные переходы из уровня возбуждения реализуются и дальнейшее увеличение интенсивности не ведёт к росту излучения. Это накладывает ограничения на мощность накачки и требует учёта в расчётах реальных лазерных систем. В предельном случае наступает клиппинг инверсии — выравнивание населённостей уровней из-за превышения скорости вынужденных переходов над скоростью накачки.

Выводы на основе статистических распределений

В более продвинутых моделях расчёта населённостей учитываются не только уровни энергии, но и распределение частиц по импульсу (скорости), что приводит к необходимости использования статистических ансамблей (Максвелла-Больцмана, Ферми-Дирака, Бозе-Эйнштейна). Особенно это важно при описании лазеров на свободных электронах, полупроводниковых лазеров и систем с сильным взаимодействием между частицами.

Зависимость инверсии от параметров среды

Инверсия населённости зависит от:

температуры (через тепловые релаксации),
давления (в газах),
спектра и мощности накачки,
конструкции резонатора (через добротность и распределение поля),
перекрёстных процессов (квазирезонансных, многофотонных переходов).

Оптимизация этих параметров позволяет достичь максимальной эффективности инверсии и стабильности генерации.

Таким образом, управление населённостями энергетических уровней является фундаментом функционирования лазерных систем. Глубокое понимание их динамики необходимо как для теоретического анализа, так и для практической реализации лазеров различного назначения.