Пороговые условия генерации

Пороговые условия генерации лазерного излучения

Основные уравнения генерации

В лазерной системе генерация когерентного излучения возможна только при выполнении определённых условий, известных как пороговые. Эти условия определяют, при каком уровне инверсной заселённости и коэффициента усиления происходит переход от простого усиления зондирующего сигнала к самопроизвольной генерации. Ключевыми факторами здесь являются: коэффициент усиления среды, потери в резонаторе и длина активной области.

Порог генерации определяется балансом между усилением и потерями в резонаторе. Основное уравнение, связывающее эти параметры, может быть записано в виде:

G = R_eff ⋅ e^{g_порог ⋅ l}

где:

G — полный коэффициент усиления за один проход по активной среде,
g_порог — пороговый коэффициент усиления,
l — длина активной среды,
$R_{\text{eff}} = \sqrt{R_1 R_2} \cdot e^{-\alpha l}$ — эффективный коэффициент отражения, учитывающий зеркала R₁, R₂ и потери α в среде.

Из этого уравнения можно выразить пороговый коэффициент усиления:

$$ g_{\text{порог}} = \frac{1}{l} \ln \left( \frac{1}{R_{\text{eff}}} \right) $$

Это условие говорит о том, что для начала генерации необходимо, чтобы усиление за проход точно компенсировало все потери — как внутренние (в активной среде), так и внешние (на зеркалах резонатора).

Инверсная заселённость на пороге

Коэффициент усиления напрямую связан с инверсной заселённостью ΔN. В двухуровневом приближении:

g = σ ⋅ ΔN

где:

σ — сечение вынужденного излучения,
ΔN = N₂ − N₁ — инверсная заселённость.

Тогда пороговое значение инверсии будет:

$$ \Delta N_{\text{порог}} = \frac{1}{\sigma l} \ln \left( \frac{1}{R_{\text{eff}}} \right) $$

Таким образом, чем выше потери в резонаторе, тем большей должна быть инверсия, что требует более интенсивной накачки.

Роль добротности резонатора

Добротность Q резонатора оказывает влияние на порог генерации. Чем выше добротность, тем меньше потери энергии при каждом обороте волны внутри резонатора, тем ниже порог генерации. Связь между добротностью и потерями выражается формулой:

$$ Q = \frac{2 \pi \nu}{\Delta \nu} $$

где:

ν — центральная частота резонатора,
Δν — ширина резонансной линии, обусловленная потерями.

Для лазерной генерации необходимо, чтобы ширина усилительной линии перекрывалась с модой резонатора. Высокая добротность означает узкую модовую ширину, что требует узкого усилительного спектра, но снижает порог.

Энергетическое представление порога

Можно выразить порог в терминах мощности или энергии накачки. Энергетический порог W_порог связан с числом возбужденных атомов, необходимым для достижения инверсии:

$$ W_{\text{порог}} = \frac{h \nu N_{\text{порог}} V}{\eta_{\text{нак}}} $$

где:

hν — энергия фотона накачки,
V — объём активной среды,
η_нак — коэффициент эффективности накачки.

Это выражение позволяет рассчитать минимальную энергию, которую нужно вложить в систему, чтобы запустить генерацию.

Многомодовые и одномодовые пороги

Если резонатор поддерживает множество продольных мод, каждая из них может иметь свой порог. Обычно генерация начинается с моды с наименьшим порогом (максимальным перекрытием с усилением). При дальнейшем увеличении накачки могут начаться генерации в других модах.

Для подавления многомодовости и обеспечения одномодовой генерации применяют различные методы:

уменьшение длины резонатора,
вставка селективных элементов (решётки, интерферометры),
активная или пассивная модуляция добротности.

Влияние параметров среды

Порог генерации чувствителен к физическим параметрам активной среды:

Температура: влияет на ширину спектральной линии (через Доплеровское уширение), на сечение усиления и на эффективность накачки. При повышении температуры сечение усиления уменьшается, что повышает порог.
Давление и столкновения: увеличение давления усиливает коллизионное уширение и может понижать добротность резонатора (из-за увеличения потерь), повышая порог.
Длина активной среды: увеличение длины снижает порог, так как даёт больший путь для усиления, но требует более качественного распределения накачки.

Порог генерации в различных типах лазеров

Различные классы лазеров имеют специфические условия генерации:

Газовые лазеры (например, He-Ne): низкие коэффициенты усиления → требуют высокой добротности и точного соблюдения геометрии.
Твердотельные лазеры (например, рубиновый, Nd:YAG): большие значения сечения усиления позволяют достичь генерации при меньших длинах резонатора.
Полупроводниковые лазеры: имеют короткие активные области, но очень высокие сечения усиления; их порог генерации выражается в токе, необходимом для достижения инверсии.

Динамика включения генерации

При достижении порогового значения инверсии начинается экспоненциальный рост интенсивности излучения в резонаторе. Вначале он обусловлен усилением спонтанного излучения, которое при пороге начинает переходить в вынужденное.

Время нарастания генерации зависит от:

разности между текущим коэффициентом усиления и пороговым,
времени жизни уровней активной среды,
добротности резонатора.

При резком превышении порога возможны нелинейные эффекты: автоколебания, пульсации, возбуждение нескольких мод.

Математическое моделирование порога

Для количественного анализа используется система уравнений взаимодействия поля с активной средой:

$$ \frac{dN_2}{dt} = R - \frac{N_2}{\tau} - \sigma N_2 I $$

$$ \frac{dI}{dt} = (\sigma \Delta N - \alpha) \cdot I + \beta_{\text{spont}} $$

где:

R — скорость накачки,
τ — время жизни верхнего уровня,
α — потери на проход,
β_spont — вклад спонтанного излучения в поле.

При достижении условия σΔN > α интенсивность I начинает расти — начинается генерация.

Квантовый выход на пороге

Квантовая эффективность лазера (отношение излучённой энергии к числу актов накачки) резко возрастает после превышения порога. До порога подавляющая часть энергии теряется в виде тепла и некогерентного излучения. После порога излучение становится когерентным, с узкой спектральной линией и направленным пучком.

Практические аспекты измерения порога

На практике порог определяется по изменению зависимости мощности излучения от мощности накачки. Ниже порога излучение почти отсутствует или соответствует только спонтанной компоненте. При достижении порога наблюдается резкий “излом” на графике — переход к линейному росту мощности.

Пороговое значение может зависеть от:

качества изготовления зеркал,
точности выравнивания резонатора,
температурного режима,
качества активной среды.

Поэтому для надёжной генерации необходимо обеспечить превышение порога с запасом, избегая при этом перегрева и разрушения компонентов.