Понятие собственных мод
В резонаторе лазера устанавливаются такие распределения электромагнитного поля, которые удовлетворяют граничным условиям на зеркалах и сохраняются при многократных отражениях. Эти распределения называются собственными модами резонатора (или модами поля, резонаторными модами, каустическими модами и т.д.). Каждая собственная мода характеризуется определённой частотой, распределением амплитуды и фазы, а также потерями на один круговой проход.
В теории лазеров собственные моды играют ключевую роль, так как они определяют пространственную и спектральную структуру излучения. Только те моды, которые соответствуют условиям самосогласованности поля в резонаторе и для которых усиление превышает потери, могут быть возбуждены и участвовать в генерации.
Продольные и поперечные моды
Собственные моды классифицируются на продольные (или осевые) и поперечные (или трансверсальные) моды.
Продольные моды обусловлены интерференцией волн, отражающихся между зеркалами. Их частоты определяются условием стоячей волны вдоль оси резонатора:
$$ \nu_q = \frac{q c}{2 L_{\text{опт}}}, \quad q \in \mathbb{Z} $$
где Lопт — эффективная длина резонатора, включающая оптические пути в активной среде, c — скорость света, q — номер моды.
Поперечные моды определяются распределением поля в поперечном сечении резонатора. Их структура зависит от геометрии резонатора, типа зеркал и дифракционных эффектов.
Гауссовы моды
Наиболее важный класс собственных мод — это гауссовы (или темпорально-стабильные) моды, описывающиеся параксиальным приближением волнового уравнения. Основная (фундаментальная) мода имеет гауссово распределение поля в поперечном сечении. Она обозначается как TEM₀₀ (Transverse Electromagnetic Mode 00):
$$ E(x, y, z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{w^2(z)}\right) \exp\left(-i k z - i \frac{k(x^2 + y^2)}{2 R(z)} + i \zeta(z)\right) $$
Здесь:
Функция w(z) характеризует дифракционное расширение пучка, а фазовый сдвиг Гуи ζ(z) = arctan (z/zR), где zR — длина Рэлея, учитывает сдвиг фазы по сравнению с плоской волной.
Высшие поперечные моды
Более высокие моды обозначаются как TEMₘₙ, где m и n — целые неотрицательные числа, указывающие на число нулей поля по координатам x и y соответственно. Эти моды выражаются через эрмитовы или лагерровы многочлены:
$$ E_{mn}(x, y, z) = E_0 \cdot H_m\left(\frac{\sqrt{2}x}{w(z)}\right) H_n\left(\frac{\sqrt{2}y}{w(z)}\right) \exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{w^2(z)}\right) \cdot \text{(фаза)} $$
Каждая такая мода имеет более сложное поперечное распределение интенсивности и бо́льшие дифракционные потери по сравнению с TEM₀₀, поэтому при прочих равных условиях генерируются менее эффективно.
Резонатор как селектор мод
Геометрия резонатора определяет, какие моды будут устойчивыми и смогут накапливаться. Наиболее часто исследуются двумерные резонаторы с двумя зеркалами — плоскими или сферическими. Для стабильности мод требуется выполнение условия устойчивости:
$$ 0 < g_1 g_2 < 1,\quad g_i = 1 - \frac{L}{R_i} $$
где R1, R2 — радиусы кривизны зеркал, L — длина резонатора.
Резонаторы с устойчивой геометрией обладают конечным набором собственных мод, ограниченных по размерам и потерям. При этом различие между модами определяется как спектрально (разные νq) так и пространственно (разные TEMmn).
Спектральные характеристики собственных мод
Расстояние между соседними продольными модами:
$$ \Delta \nu = \frac{c}{2 L_{\text{опт}}} $$
Частотные сдвиги между поперечными модами определяются фазовым сдвигом Гуи. Частота моды с индексами q, m, n в параксиальном приближении:
$$ \nu_{qmn} = \nu_q + \Delta \nu \cdot \left(\frac{(m+n+1)}{\pi} \arccos\sqrt{g_1 g_2} \right) $$
Таким образом, поперечные моды отстоят от основной не только по пространственной структуре, но и по частоте.
Когерентность и модовая структура
Число возбуждённых мод напрямую связано с временной и пространственной когерентностью лазерного излучения:
Для получения наилучшей качества пучка применяются методы селекции мод — сужение апертуры, внутрирезонаторные элементы (диафрагмы, фазовые элементы, интерференционные фильтры и др.), а также активное управление фазой.
Методы возбуждения и подавления мод
Реализация генерации в одной моде требует балансировки между усилением и потерями:
Связь с параметрами активной среды
Помимо геометрии резонатора, на спектр мод влияет ширина линии усиления активной среды. Только те моды, частоты которых попадают в контур линии усиления, могут быть эффективно возбуждены. Это определяет число возможных продольных мод при заданной длине резонатора:
$$ N = \frac{\Delta \nu_\text{усиления}}{\Delta \nu_\text{мод}} $$
где Δνусиления — ширина полосы усиления, Δνмод — межмодовое расстояние.
Влияние зеркал и элементов резонатора
Тип и покрытие зеркал (диэлектрическое, металлическое, полупрозрачное), наличие фазоизменяющих или частотно-селективных элементов, асимметрия резонатора — всё это оказывает влияние на модовую структуру. Например:
Современные методы моделирования мод
Для анализа мод в реальных резонаторах, особенно в нестандартных геометриях, применяются численные методы:
Эти методы позволяют строить карту мод, оценивать их устойчивость, потери, и взаимодействие с активной средой.
Собственные моды в открытых резонаторах
В открытых резонаторах (например, с частично отражающими зеркалами или без полного замыкания) моды становятся квазимодами — они не сохраняются бесконечно долго, а обладают конечным временем жизни и комплексными собственными частотами. Такое описание требует применения теории диссипативных резонаторов и комплексного спектрального анализа.
Особенности мод в специальных резонаторах
В резонаторах нестандартной геометрии, таких как:
моды могут быть кардинально отличны от традиционных TEMₘₙ. Они описываются собственными функциями волноводных уравнений, часто неразделимыми по координатам, и зависят от граничных условий, дисперсии материала, формы и размеров структуры.
Выводы по теме мод резонатора
Собственные моды являются фундаментальной характеристикой резонатора и всего лазера. Они определяют устойчивость генерации, спектрально-пространственные характеристики пучка, эффективность усиления и взаимодействие излучения с активной средой. Контроль над модами — ключ к созданию лазеров с заданными параметрами, высокой направленностью, узкой спектральной шириной и минимальными потерями.