Сжатые состояния в лазерной физике
Сжатые состояния (squeezed states) представляют собой особый класс квантовых состояний электромагнитного поля, в которых неопределённость одной из квадратичных компонент (например, фазы или амплитуды) оказывается меньше, чем в когерентных состояниях. Это достигается за счёт перераспределения квантовых флуктуаций: уменьшение флуктуаций в одной квадратичной переменной сопровождается их увеличением в сопряжённой переменной, в полном соответствии с принципом неопределённости Гейзенберга.
Пусть квантное электромагнитное поле описывается операторами рождения и уничтожения â и â†, удовлетворяющими коммутационному соотношению:
[â, â†] = 1.
Тогда можно ввести квадратичные операторы:
$$ \hat{X}_1 = \frac{1}{2}(\hat{a} + \hat{a}^\dagger), \quad \hat{X}_2 = \frac{1}{2i}(\hat{a} - \hat{a}^\dagger), $$
которые представляют амплитудную и фазовую квадратуры соответственно. В когерентных состояниях вакуума или лазерного поля их дисперсии одинаковы:
$$ \langle (\Delta \hat{X}_1)^2 \rangle = \langle (\Delta \hat{X}_2)^2 \rangle = \frac{1}{4}. $$
Сжатые состояния — это такие состояния, для которых, например,
$$ \langle (\Delta \hat{X}_1)^2 \rangle < \frac{1}{4}, \quad \text{а} \quad \langle (\Delta \hat{X}_2)^2 \rangle > \frac{1}{4}, $$
при условии сохранения произведения неопределённостей:
$$ \langle (\Delta \hat{X}_1)^2 \rangle \cdot \langle (\Delta \hat{X}_2)^2 \rangle \geq \frac{1}{16}. $$
Сжатые состояния можно получить с помощью нелинейных взаимодействий света с веществом. Один из ключевых методов — параметрическое усиление в средах с χ²-нелинейностью. В частности, сжатие реализуется в результате процесса параметрического даун-конверсии, когда фотон с частотой ω распадается на два субгармонических фотона с частотами ω/2, при этом возникающие поля коррелированы.
Гамильтониан взаимодействия, приводящий к сжатию, может быть представлен в форме:
Ĥint = iℏκ(â†2 − â2),
где κ — коэффициент, пропорциональный эффективной нелинейности и интенсивности накачки. Эволюция вакуумного состояния под действием этого гамильтониана приводит к формированию вакуумного сжатого состояния.
Аналогично, при применении этого же механизма к когерентному состоянию получается сжатое когерентное состояние:
|α, r⟩ = Ŝ(r)|α⟩,
где $\hat{S}(r) = \exp\left[ \frac{1}{2} r(\hat{a}^2 - \hat{a}^{\dagger 2}) \right]$ — оператор сжатия, r — параметр сжатия.
Сжатые состояния обладают неклассической фотонной статистикой. В отличие от когерентных состояний, где распределение числа фотонов подчиняется пуассоновской статистике, для сжатых состояний характерно субпуазсоновское распределение (при сильном сжатии), а также наличие квантовых корреляций между флуктуациями разных компонент поля.
Для сжатого вакуумного состояния среднее число фотонов определяется как:
⟨n̂⟩ = sinh2r,
а флуктуации числа фотонов:
⟨(Δn̂)2⟩ = sinh2r(sinh2r + 1),
что превышает пуассоновское значение при больших r, но флуктуации квадратур всё ещё сжаты.
Сжатые состояния демонстрируют анизотропию в фазовом пространстве: эллиптическое распределение квантовых флуктуаций, где одна ось (например, амплитудная) сжата, а другая (фазовая) — растянута. Эту картину можно наблюдать в представлении Вигнера, где сжатое состояние визуализируется как вытянутый эллипс вместо круглой гауссианы для когерентного состояния.
Плотность вероятности распределения по фазе и амплитуде в сжатом состоянии может быть выражена как:
$$ P(X_\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \langle (\Delta X_\theta)^2 \rangle}} \exp\left( -\frac{(X_\theta - \langle X_\theta \rangle)^2}{2\langle (\Delta X_\theta)^2 \rangle} \right), $$
где
$$ \langle (\Delta X_\theta)^2 \rangle = \frac{1}{4} \left( e^{-2r} \cos^2 \theta + e^{2r} \sin^2 \theta \right). $$
Таким образом, поворот фазового угла θ позволяет наблюдать максимум и минимум флуктуаций, зависящих от параметра сжатия.
Обнаружение сжатия в экспериментах требует гомодинной детекции, при которой измеряется проекция квантового состояния на заданную фазу с помощью сильного опорного лазерного поля. Основная задача — измерить распределение квадратур:
$$ X_\theta = \frac{1}{2} \left( \hat{a} e^{-i\theta} + \hat{a}^\dagger e^{i\theta} \right), $$
и выявить уменьшение флуктуаций относительно стандартного квантового предела.
Наиболее широко сжатие реализуется в следующих конфигурациях:
Современные эксперименты достигли уровней сжатия до 15 дБ, что означает уменьшение флуктуаций в одной из квадратур в несколько раз по сравнению со стандартным квантовым пределом.
Сжатые состояния находят широкое применение в квантовой оптике и смежных областях:
Гравитационно-волновая астрономия: В детекторах типа LIGO и Virgo использование сжатого света позволяет уменьшить флуктуации считываемого сигнала и повысить чувствительность к слабым гравитационным волнам. Внедрение сжатого вакуума в темновой порт интерферометра привело к увеличению диапазона детектирования.
Квантовая метрология: Применение сжатых состояний в системах точных измерений позволяет преодолеть стандартный квантовый предел и приблизиться к пределу Хеизенберга. Это особенно важно для атомных часов, спектроскопии, интерферометрии.
Квантовая криптография и связь: Сжатый свет используется в протоколах квантовой передачи информации с повышенной помехоустойчивостью и скрытностью. Комбинирование с когерентной модуляцией позволяет реализовать квантовую телепортацию состояний.
Квантовые компьютеры: В непрерывных переменных (CV) моделях квантовых вычислений сжатые состояния играют роль ресурса нелинейности и коррелированных состояний между модами.
Сжатые состояния являются промежуточным звеном между когерентными и сильно неклассическими состояниями. Они обладают одновременно частичной когерентностью и выраженными квантовыми особенностями, такими как отрицательность квазиплотности Вигнера, субпуазсоновская статистика, и сильные нелинейные корреляции.
Существует обобщение — двухмодовые сжатые состояния, в которых сжатие распространяется на комбинации мод, а не только на одну. Это основа для реализации квантовой запутанности в системах с непрерывными переменными:
|ψ⟩ = Ŝ2(r)|0, 0⟩,
где Ŝ2(r) = exp [r(âb̂ − â†b̂†)] — двухмодовый оператор сжатия.
Такие состояния являются основой для квантовой телепортации, распределения квантовых ключей и создания квантовых сетей.
Формальный аппарат сжатых состояний развивается в рамках теории непрерывных переменных квантовой информации. Центральной является симплектическая структура фазового пространства, где состояния описываются ковариационными матрицами. Сжатие связано с односторонними симплектическими преобразованиями:
Σ → SΣST,
где S — симплектический оператор, действующий на фазовые координаты.
При этом нарушить принцип Гейзенберга невозможно — сжатие всегда ограничено фундаментальными квантовыми пределами. Достижение «идеального» сжатия невозможно в силу потерь, теплового шума и ограниченной эффективности нелинейных преобразований.
Сжатые состояния становятся ключевыми объектами не только в квантовой оптике, но и в общей квантовой технологии. Они объединяют фундаментальные идеи квантовой теории измерений, взаимодействия света и вещества и современные достижения лазерной физики.