Диамагнетизм Ландау

Основные положения

Диамагнетизм Ландау является квантовым эффектом, возникающим у свободных электронов в металлах и полупроводниках под действием внешнего магнитного поля. В отличие от классического подхода, где движение электронов рассматривается как непрерывное, квантовая теория учитывает дискретные энергетические уровни, так называемые уровни Ландау. Эти уровни формируются за счёт квантования орбитального движения электронов в магнитном поле и являются ключевым элементом понимания магнитного отклика вещества на внешнее поле.

Уровни Ландау

Энергия электрона в однородном магнитном поле B определяется выражением:

$$ E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right)\hbar \omega_c + \frac{p_z^2}{2m}, $$

где:

  • n = 0, 1, 2, … — номер уровня Ландау,
  • $\omega_c = \frac{eB}{m}$ — циклотроная частота электрона,
  • pz — проекция импульса вдоль направления поля,
  • m — масса электрона,
  • ℏ — приведённая постоянная Планка.

Эта формула показывает, что энергия электронов перпендикулярно полю дискретизована, тогда как вдоль поля движение остаётся свободным. Дискретизация приводит к уменьшению средней кинетической энергии орбитального движения под действием магнитного поля и, как следствие, к возникновению диамагнитного отклика.

Магнитная восприимчивость Ландау

Диамагнитная восприимчивость Ландау для свободного электронного газа определяется формулой:

$$ \chi_L = -\frac{1}{3} \mu_0 \mu_B^2 g(E_F), $$

где:

  • μ0 — магнитная проницаемость вакуума,
  • $\mu_B = \frac{e\hbar}{2m}$ — магнетон Бора,
  • g(EF) — плотность состояний на уровне Ферми EF.

Отрицательный знак указывает на противодействие внешнему полю, характерное для диамагнетизма. Важной особенностью является то, что магнитная восприимчивость Ландау не зависит от температуры при низких температурах, так как определяется только электронной плотностью состояний на уровне Ферми.

Статистическая обработка

Для количественного описания диамагнетизма Ландау используется формализм статистической физики. Полная энергия системы электронов записывается через суммирование по уровням Ландау:

Etot = ∑n, kzf(En)En,

где f(En) — функция распределения Ферми-Дирака. Диамагнитный момент рассчитывается как производная полной энергии по магнитному полю:

$$ M = - \frac{\partial E_{\text{tot}}}{\partial B}. $$

При низких температурах ( T → 0 ) выражение для диамагнитного момента упрощается, и возникает классическая формула Ландау.

Физическая интерпретация

Диамагнетизм Ландау можно интерпретировать как результат квантового ограничения орбитального движения электронов. В классической картине электроны создают случайные орбиты, которые в среднем не дают магнитного момента. Квантование орбит приводит к тому, что электронные орбиты становятся стабильными с дискретными энергиями, и внешнее поле вызывает сдвиг уровней, приводящий к слабому отрицательному магнитному моменту на электрон.

Ограничения и условия применения

  • Теория Ландау применима к свободным или квазисвободным электронам, то есть когда влияние кристаллической решётки на движение электронов можно учитывать через эффективную массу.
  • Для сильных взаимодействий между электронами, сильного рассеяния или в сильно анизотропных системах требуется более сложная модификация.
  • Эффект проявляется при низких температурах и высоких магнитных полях, когда дискретизация уровней Ландау становится заметной относительно ширины энергетического распределения электронов.

Связь с другими магнитными эффектами

Диамагнетизм Ландау является дополнением к парамагнетизму Паули. В металлах суммарная магнитная восприимчивость определяется как

χtotal = χPauli + χL,

где χPauli — парамагнитная восприимчивость, возникающая из-за спинового выравнивания электронов. В простых металлах величины Ландау и Паули соотносятся как $\chi_L = -\frac{1}{3} \chi_{\text{Pauli}}$.

Практическое значение

  • Диамагнетизм Ландау объясняет поведение электронного газа в металлах при сильных полях.
  • Он играет ключевую роль в физике низких температур и квантовой статистике, особенно при изучении квантовых осцилляций Де Хааза–ван Альфена, которые позволяют определять плотность состояний и форму поверхности Ферми.
  • Используется в анализе свойств двумерных электронных систем, графена и полупроводниковых гетероструктур, где дискретизация уровней Ландау становится заметной даже при умеренных полях.

Выводы из теории

  • Диамагнетизм Ландау — чисто квантовое явление, которое невозможно объяснить классической теорией.
  • Его величина зависит от плотности состояний на уровне Ферми и эффективной массы электронов, но не зависит от температуры при низких T.
  • Он служит фундаментальной основой для понимания квантовых магнитных явлений в твёрдых телах и электронных системах с высокой подвижностью.
Оглавление