Диамагнетизм свободных электронов является фундаментальным проявлением квантовомеханических свойств частиц с зарядом. В отличие от парамагнетизма, который возникает из-за наличия спинового магнитного момента, диамагнетизм проявляется как взаимодействие орбитального движения электронов с внешним магнитным полем. В системе свободных электронов этот эффект особенно важен для металлов, полупроводников и плазменных состояний.
В классической теории Ланде-Лензера рассматривается движение электрона в круговой орбите. Когда на систему накладывается магнитное поле B, по закону электромагнитной индукции возникает индуцированный ток, создающий магнитный момент, противоположно направленный к внешнему полю:
$$ \mathbf{m}_{\text{индуц}} = -\frac{e^2}{6m} \langle r^2 \rangle \mathbf{B}. $$
Здесь e — заряд электрона, m — масса, ⟨r2⟩ — среднеквадратичное расстояние орбиты.
Ключевой момент: классическая теория объясняет наличие диамагнитного отклика, но не учитывает квантовые ограничения на движение электронов.
Для свободного электрона, помещённого в однородное магнитное поле B, гамильтониан системы принимает вид:
$$ \hat{H} = \frac{1}{2m} \left( \hat{\mathbf{p}} + \frac{e}{c} \mathbf{A} \right)^2, $$
где A — векторный потенциал, связанный с магнитным полем: B = ∇ × A.
Решение уравнения Шредингера приводит к квантованию энергии орбитального движения, известному как уровни Ландау:
$$ E_n = \hbar \omega_c \left( n + \frac{1}{2} \right), \quad n = 0, 1, 2, \dots $$
где $\omega_c = \frac{eB}{mc}$ — циклотронная частота. Каждый уровень Ландау имеет вырождение, пропорциональное магнитному полю:
$$ g_n = \frac{eB}{2\pi \hbar c} V, $$
где V — объем системы.
Ключевой момент: квантование приводит к дискретным энергетическим уровням и определяет величину диамагнитного отклика.
С использованием статистической физики можно вычислить среднее значение магнитного момента для электронного газа при температуре T. Магнитная восприимчивость Ландау для трёхмерного идеального электронного газа равна:
$$ \chi_L = - \frac{1}{3} \mu_0 \mu_B^2 g(\varepsilon_F), $$
где $\mu_B = \frac{e \hbar}{2 m c}$ — магнетон Бора, g(εF) — плотность состояний на уровне Ферми, μ0 — магнитная постоянная.
Особенности Ландау-диамагнетизма:
При конечной температуре магнитная восприимчивость модифицируется функцией Ферми-Дирака. Для kBT ≪ εF температура практически не влияет на величину диамагнитного отклика, что характерно для металлов при низких температурах. При kBT ∼ εF возникает размытие уровней Ландау и ослабление диамагнитного эффекта.
В малых металло-наноструктурах или тонких плёнках квантовые эффекты усиливаются:
Ключевой момент: в низкоразмерных системах диамагнетизм свободных электронов становится сильно зависимым от геометрии и границ.