Группа ренормализации (ГР) является фундаментальным инструментом для описания критических явлений и фазовых переходов в магнитных системах. В магнитной физике её применение позволяет систематически изучать поведение систем на больших длинах и низких энергиях, начиная от микроскопических моделей спиновых взаимодействий и заканчивая макроскопическими параметрами, такими как намагниченность и магнитная восприимчивость.
При приближении к критической точке (например, температуре Кюри Tc для ферромагнетиков) наблюдаются характерные особенности:
Все эти критические показатели связаны универсальными соотношениями и не зависят от микроскопических деталей системы. Группа ренормализации обеспечивает формальное объяснение этих универсальных свойств.
Основная идея ГР заключается в последовательном «усреднении» микроскопических степеней свободы, что позволяет описывать систему на разных масштабах. Для магнитных систем это обычно реализуется через интегрирование спиновых флуктуаций на коротких длинах, что приводит к эффективным взаимодействиям на больших масштабах.
Определение масштабирующего преобразования: Пусть Si — спины на решетке с шагом a. После масштабирования с коэффициентом b > 1 вводятся новые спины S′i с шагом a′ = ba. Функция Гиббса преобразуется таким образом, чтобы описывать ту же физику при новом масштабе.
Параметризация взаимодействий: Взаимодействия между спинами описываются гамильтонианом H({Si}, K), где K — набор параметров (обменные константы, внешнее поле и т.д.). Ренормализация даёт правило преобразования K → K′.
Фиксированные точки и критика: Фиксированные точки K* удовлетворяют условию K* = R(K*), где R — оператор ренормализации. Критическая точка магнитной системы соответствует такой фиксированной точке с универсальными критическими показателями.
Рассмотрим изотропную модель Изинга с гамильтонианом:
H = −J∑⟨i, j⟩SiSj − h∑iSi, Si = ±1.
Шаги ренормализации:
Декомпозиция решетки на блоки: Разделим решетку на блоки размером b × b × b. Новый «блочный спин» S′B определяется как функция спинов блока, например среднее или знак суммы.
Интегрирование мелкомасштабных степеней свободы: Вычисляем эффективное взаимодействие между блочными спинами, что ведёт к изменению константы обмена: J → J′ = R(J).
Повторение процесса: После n шагов ренормализации система описывается на длинах Ln = bna. При стремлении n → ∞ параметры стремятся к фиксированной точке J*, соответствующей критическому поведению.
Вывод критических показателей осуществляется через линейное разложение около фиксированной точки:
J′ − J* ≈ λ(J − J*), λ = by,
где y — критический показатель масштабирования. Тогда:
$$ \nu = \frac{1}{y}, \quad \gamma = (2 - \eta)\nu, \quad \beta = \frac{\nu}{2}(d-2+\eta), $$
что полностью согласуется с феноменологией критических явлений.
Для моделей с непрерывными спинами (например, модель O(N)) удобно использовать функциональные интегралы:
Z = ∫????[ϕ] e−∫ddx ℋ[ϕ(x)],
где ϕ(x) — спиновое поле. Группа ренормализации выполняется через:
Разделение поля на высоко- и низкочастотные моды: ϕ = ϕ< + ϕ>, где ϕ> — моды с волновыми числами k ∈ [Λ/b, Λ].
Интегрирование высокочастотных мод: Получаем новый эффективный гамильтониан ℋ′[ϕ<].
Рескалирование координат и поля: x → bx, ϕ< → bΔϕ<, где Δ — каноническая размерность поля.
Этот подход позволяет не только вычислить критические показатели, но и объяснить универсальность, так как фиксированные точки зависят только от симметрии системы и размерности d.
Группа ренормализации выявляет существование классов универсальности:
Все системы одного класса имеют одинаковые критические показатели, несмотря на различие в микроскопических взаимодействиях.
Группа ренормализации используется для: