Парамагнетизм — это свойство вещества, обусловленное наличием неспаренных электронов, атомных или молекулярных магнитных моментов, которые стремятся ориентироваться вдоль внешнего магнитного поля. В отличие от диамагнетизма, проявляющегося слабым противодействием полю, парамагнитные материалы усиливают внешнее поле в пределах вещества.
Классическая теория парамагнетизма была разработана до появления квантовой механики и основана на идее, что атомы или молекулы обладают классическим магнитным моментом μ⃗, который под влиянием внешнего магнитного поля B⃗ может поворачиваться и настраиваться на поле.
Для магнитного момента μ⃗, помещённого в однородное магнитное поле B⃗, потенциальная энергия определяется выражением:
E = −μ⃗ ⋅ B⃗ = −μBcos θ,
где θ — угол между вектором магнитного момента и направлением поля.
Эта энергия служит основой для статистического распределения ориентаций магнитных моментов, так как тепловое движение атомов стремится случайно ориентировать их, а магнитное поле — упорядочить.
Классическая теория использует распределение Больцмана для оценки средней ориентации магнитных моментов:
P(θ) ∼ e−E/kBT = eμBcos θ/kBT,
где kB — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура.
Среднее значение проекции магнитного момента на направление поля:
$$ \langle \mu_z \rangle = \frac{\int_0^\pi \mu \cos\theta \, e^{\mu B \cos\theta / k_B T} \sin\theta \, d\theta}{\int_0^\pi e^{\mu B \cos\theta / k_B T} \sin\theta \, d\theta}. $$
Эта интегральная формула выражает степень намагниченности парамагнитного вещества при заданной температуре и поле.
При слабых магнитных полях (μB ≪ kBT) экспоненту можно разложить в ряд, оставляя только первый член:
$$ e^{\mu B \cos\theta / k_B T} \approx 1 + \frac{\mu B \cos\theta}{k_B T}. $$
Подставляя это в формулу для ⟨μz⟩, получаем:
$$ \langle \mu_z \rangle \approx \frac{\mu^2 B}{3 k_B T}. $$
Если в единице объёма содержится n парамагнитных центров, то намагниченность M равна:
$$ M = n \langle \mu_z \rangle = \frac{n \mu^2}{3 k_B T} B. $$
Определяя магнитную восприимчивость χ = M/B, получаем классический закон Кюри:
$$ \chi = \frac{n \mu^2}{3 k_B T}. $$
Ключевые моменты:
Несмотря на простоту и ясность, классическая теория имеет серьёзные ограничения:
Проблема магнитного момента В классическом подходе магнитный момент может принимать любое значение и ориентацию, тогда как в реальности электронные моменты квантуются.
Недооценка намагниченности при низких температурах Классическая теория предсказывает бесконечно возрастающую намагниченность при T → 0, что не соответствует эксперименту. В реальных системах наблюдается насыщение намагниченности, описываемое законами Ланжевена и Брильуэна-Вейса.
Не учитывает спиновое взаимодействие Важные эффекты обменного взаимодействия, приводящие к ферромагнетизму или антиферромагнетизму, остаются за пределами классического подхода.
Для произвольных полей и температур намагниченность выражается через функцию Ланжевена L(x):
$$ M = n \mu L\left(\frac{\mu B}{k_B T}\right), \quad L(x) = \coth x - \frac{1}{x}. $$
При малых x функция Ланжевена даёт линейную зависимость, восстанавливая закон Кюри, при больших x происходит насыщение намагниченности, что решает проблему классической теории при низких температурах.