Квантовые числа в магнитном поле

При рассмотрении поведения электрона в атоме в присутствии внешнего магнитного поля важнейшую роль играют квантовые числа, которые определяют возможные энергетические состояния и ориентацию магнитного момента электрона. Эти квантовые числа возникают из решения уравнения Шрёдингера для атома с учетом магнитного взаимодействия и имеют строго определенные дискретные значения.

Главные квантовые числа:

1. Главное квантовое число n Определяет энергетический уровень электрона в атоме. При внешнем магнитном поле энергия электрона подчиняется закону Бора-Зоммерфельда, и с увеличением n увеличивается радиус орбиты электрона.

   $$ E_n \sim -\frac{13.6\,\text{эВ}}{n^2} $$

2. Орбитальное квантовое число l Определяет форму орбиты и величину орбитального момента электрона:

   L⃗² = l(l + 1)ℏ²

   При внешнем магнитном поле орбитальный момент взаимодействует с магнитным полем, что приводит к дополнительному расщеплению энергетических уровней (эффект Зеемана).

3. Магнитное квантовое число m_l Определяет проекцию орбитального момента на направление внешнего магнитного поля (z-ось):

   L_z = m_lℏ,  m_l = −l, −l + 1, …, l − 1, l

   Именно магнитное квантовое число определяет число подуровней, возникающих при расщеплении уровней в магнитном поле.

4. Спиновое квантовое число s и его проекция m_s Электрон обладает внутренним угловым моментом — спином s = 1/2. Его проекция на направление поля z может принимать два значения:

   $$ m_s = \pm \frac{1}{2} $$

   Спиновый момент взаимодействует с магнитным полем через магнитный момент электрона:

   μ⃗_s = −g_sμ_BS⃗/ℏ

   где g_s ≈ 2 — фактор Ланде для электрона, а μ_B — магнетон Бора.

Влияние магнитного поля на энергетические уровни

При наложении внешнего магнитного поля B⃗ энергетические уровни атома расщепляются в зависимости от ориентации магнитного момента относительно поля. Энергия взаимодействия определяется формулой:

E_Z = −μ⃗ ⋅ B⃗ = μ_BB(m_l + g_sm_s)

где $\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e}$ — магнетон Бора.

Ключевой момент: расщепление уровней пропорционально величине магнитного поля и квантовым числам m_l и m_s. Этот эффект называется эффектом Зеемана, и он может быть нормальным (только орбитальный момент) или аномальным (с учетом спина электрона).

Спин-орбитальное взаимодействие

Внутри атома орбитальный и спиновый моменты электрона взаимодействуют между собой, что приводит к дополнительному расщеплению уровней даже без внешнего поля. При наложении магнитного поля полная энергия учитывает как спин-орбитальное взаимодействие, так и прямое взаимодействие с внешним полем:

E = E_n + ξL⃗ ⋅ S⃗ + μ_BB(m_l + g_sm_s)

где ξ — константа спин-орбитального взаимодействия.

Следствие: даже для одинакового n и l уровни энергии различны в зависимости от j = l ± 1/2, что приводит к так называемым fine-structure уровням, которые дополнительно расщепляются в магнитном поле.

Изменение правил заполнения уровней

При сильных магнитных полях расщепление Зеемана может превышать спин-орбитальное взаимодействие. В этом случае ориентация спина и орбитального момента относительно поля становится хорошим квантовым числом, а энергия описывается моделью пассо-поля (Paschen-Back effect):

E ≈ μ_BB(m_l + 2m_s)

Это меняет стандартные правила заполнения электронных орбиталей, что важно при анализе спектров в астрономии и физике плазмы.

Роль квантовых чисел в спектроскопии

• Магнитные квантовые числа определяют количество линий расщепления спектральных линий (Zeeman splitting).
• Спиновое квантовое число объясняет аномальный эффект Зеемана.
• Главное и орбитальное квантовые числа задают исходную энергию электронного уровня, вокруг которой происходит расщепление.

Эти квантовые числа образуют фундаментальную основу для понимания взаимодействия атомов с магнитными полями и являются ключевыми при анализе спектров, исследовании магнитных свойств веществ и квантовых систем.