Магнитные мультиполи представляют собой разложение магнитного поля, создаваемого распределением токов или движущихся зарядов, на систему упорядоченных компонент с различной симметрией. Аналогично электрическим мультиполям, мультипольное разложение позволяет описывать поле на больших расстояниях от источника через последовательность диполей, квадруполей, октуполей и так далее.
Для произвольного замкнутого распределения токов J(r) магнитный потенциал векторного поля A(r) в точке R выражается через интеграл:
$$ \mathbf{A}(\mathbf{R}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{R} - \mathbf{r}'|} \, d^3r'. $$
При удалении от источника (|R| ≫ |r′|) возможна мультипольная аппроксимация, в которой потенциал записывается в виде суммы вкладов различных мультиполей.
Магнитный диполь — это основная и наиболее значимая мультипольная компонента на больших расстояниях. Магнитный дипольный момент определяется как:
$$ \mathbf{m} = \frac{1}{2} \int \mathbf{r}' \times \mathbf{J}(\mathbf{r}') \, d^3r'. $$
Вблизи магнитного диполя векторный потенциал имеет вид:
$$ \mathbf{A}(\mathbf{R}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{m} \times \mathbf{R}}{R^3}, $$
а магнитное поле:
$$ \mathbf{B}(\mathbf{R}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{3(\mathbf{m} \cdot \mathbf{R})\mathbf{R}}{R^5} - \frac{\mathbf{m}}{R^3} \right]. $$
Ключевые особенности диполя:
Следующим членом в мультипольном разложении является магнитный квадруполь, который характеризуется тензором квадрупольного момента:
$$ Q_{ij} = \frac{1}{2} \int \left[ r'_i (\mathbf{r}' \times \mathbf{J})_j + r'_j (\mathbf{r}' \times \mathbf{J})_i \right] d^3r'. $$
Для квадрупольного поля характерно более быстрое убывание с расстоянием — как 1/R4.
Особенности квадруполя:
Следующие члены — октуполь, гексадекуполь и далее — описываются аналогичными тензорами более высоких рангов. Их поле убывает с расстоянием еще быстрее, чем у квадруполя, что делает их влияние малозаметным на больших масштабах. Тем не менее они имеют фундаментальное значение при расчете магнитного поля вблизи источника, а также при изучении взаимодействия сложных магнитных структур.
Мультипольное разложение магнитного поля можно выразить через сферические гармоники:
$$ \mathbf{A}(\mathbf{R}) = \sum_{l=1}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\mathbf{M}_{lm} Y_{lm}(\theta, \phi)}{R^{l+1}}, $$
где Mlm — магнитный мультипольный момент порядка l, Ylm(θ, ϕ) — сферическая гармоника.
Особенности разложения через сферические гармоники: