Магнитный потенциал является фундаментальным понятием в теории магнитного поля и служит ключевым инструментом для описания взаимодействия токов и магнитных полей. Векторный магнитный потенциал A связан с магнитной индукцией B следующим образом:
B = ∇ × A,
где ∇× — оператор ротор. Эта формула показывает, что магнитная индукция всегда является ротором некоторого векторного поля, а значит, её дивергенция всегда равна нулю:
∇ ⋅ B = 0.
Физически векторный потенциал A характеризует распределение магнитного поля, создаваемого электрическими токами, и напрямую связан с силой, действующей на движущиеся заряды.
Магнитный потенциал тесно связан с электрическим потенциалом ϕ в рамках уравнений Максвелла. В релятивистской форме для четырехпотенциала (ϕ, A) уравнения Максвелла можно записать компактно:
$$ \Box \mathbf{A} - \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \phi}{\partial t}\right) = -\mu_0 \mathbf{J}, $$
$$ \Box \phi + \frac{\partial}{\partial t} \left(\nabla \cdot \mathbf{A}\right) = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}, $$
где □ — оператор д’Аламбера, J — плотность тока, ρ — плотность заряда, c — скорость света. В статическом случае эти уравнения упрощаются, что позволяет использовать векторный потенциал для вычисления магнитного поля токов.
Магнитный потенциал не является уникальным: можно добавлять к нему градиент произвольной скалярной функции Λ(r, t), не изменяя магнитное поле:
A′ = A + ∇Λ ⟹ B′ = ∇ × A′ = B.
Эта свобода известна как калибровочная свобода и используется для выбора удобного вида потенциала при решении физических задач. Наиболее часто применяются:
Прямой бесконечный ток: Для тока I, протекающего вдоль оси z, векторный потенциал имеет только z-компоненту:
$$ \mathbf{A} = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \ln(r) \, \hat{z}, \quad r = \sqrt{x^2 + y^2}. $$
Круговой ток: Для тока, протекающего по круговому витку радиуса R, магнитный потенциал вычисляется через интеграл Био–Савара-Лапласа:
$$ \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \oint \frac{d\mathbf{l}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}. $$
Такой подход особенно важен для решения задач с симметричными токовыми системами.
Энергия магнитного поля через потенциал определяется интегралом по объему:
$$ W = \frac{1}{2} \int \mathbf{J} \cdot \mathbf{A} \, dV. $$
Эта формула показывает прямую связь между токами и создаваемым магнитным полем и служит основой для вычисления энергии в сложных магнитных системах.
Векторный потенциал играет ключевую роль в квантовой теории. Например, в эффекте Ахаpонова Фейнмана волновая функция электрона зависит от интеграла потенциала вдоль траектории:
$$ \psi \sim \exp\left(\frac{ie}{\hbar} \int \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l}\right), $$
даже если магнитное поле в области движения частицы равно нулю. Это демонстрирует фундаментальное значение потенциала как физической величины, а не только как математической абстракции.
Магнитный потенциал является универсальным инструментом для описания и анализа магнитных полей как в классической, так и в квантовой физике. Он обеспечивает компактную и удобную форму записи уравнений Максвелла, облегчает расчет энергии и силы взаимодействия, а также раскрывает фундаментальные аспекты взаимодействия заряженных частиц с полем, недоступные при прямом рассмотрении только магнитной индукции.