Магнитостатика

Магнитостатика изучает свойства и поведение магнитных полей, создаваемых постоянными токами или магнитными диполями, находящимися в состоянии покоя относительно времени. В отличие от электростатики, где источниками поля являются неподвижные заряды, магнитное поле возникает исключительно за счет движения зарядов, то есть электрических токов.

Ключевыми величинами в магнитостатике являются:

  • Магнитная индукция B — векторная величина, характеризующая плотность потоков магнитного поля в данной точке пространства.
  • Напряжённость магнитного поля H — векторная величина, связанная с источником поля (током) и средой, в которой поле создаётся.
  • Магнитный момент m — характеристика замкнутого тока или элементарного магнитного диполя.

Закон Био–Савара–Лапласа

Магнитное поле создается движущимися зарядами. Для бесконечно малой элементарной части тока I dl в точке r поле рассчитывается по закону Био–Савара–Лапласа:

$$ d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{I \, d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3} $$

где:

  • μ0 — магнитная постоянная,
  • dl — вектор элемента тока,
  • r — радиус-вектор от элемента тока до точки наблюдения,
  • × — векторное произведение.

Для системы токов поле определяется суммированием (интегрированием) всех элементарных вкладов:

$$ \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \frac{I \, d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3}. $$

Закон Био–Савара–Лапласа является фундаментальным для расчета магнитных полей произвольных токовых конфигураций.

Закон Ампера

Закон Ампера связывает контурный интеграл магнитного поля с током, проходящим через замкнутый контур:

∮B ⋅ dl = μ0Iвнутр

где Iвнутр — суммарный ток, пронизывающий площадь, ограниченную контуром.

В дифференциальной форме закон Ампера записывается через ротор магнитной индукции:

∇ × B = μ0J

где J — плотность тока в точке пространства. Этот закон является аналогом закона Кулона для магнитного поля и позволяет использовать симметрии для упрощения расчетов.

Магнитная индукция и напряжённость поля

Магнитная индукция B и напряжённость поля H связаны через свойства среды:

B = μH

где μ = μ0μr — магнитная проницаемость среды, μr — относительная проницаемость.

  • В вакууме μr = 1.
  • В ферромагнитных материалах μr может достигать сотен и тысяч, что приводит к сильной концентрации магнитного потока.

Магнитный поток и закон Гаусса для магнитного поля

Магнитный поток через поверхность S определяется как:

ΦB = ∫SB ⋅ dS.

Закон Гаусса для магнитного поля утверждает, что суммарный магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю:

∮SB ⋅ dS = 0.

Это отражает фундаментальное свойство магнитных полей — отсутствие магнитных монополей в природе: линии магнитного поля всегда замкнуты.

Магнитные материалы

Магнитные материалы классифицируются по характеру намагничивания:

  1. Диамагнетики — слабо противопоставляют внешнему полю, χ < 0. Примеры: медь, серебро.
  2. Парамагнетики — усиливают внешнее поле, χ > 0, но малые по величине. Примеры: алюминий, кислород.
  3. Ферромагнетики — обладают сильной спонтанной намагниченностью, χ ≫ 1. Примеры: железо, никель, кобальт.

Магнитная восприимчивость χ связывает намагниченность M с напряжённостью поля:

M = χH.

В ферромагнитных материалах проявляются гистерезис, намагниченность насыщения и кривые размагничивания, что важно для практических приложений.

Магнитные моменты и диполи

Магнитный диполь с моментом m в магнитном поле B испытывает момент сил:

T = m × B

и потенциальную энергию:

U = −m ⋅ B.

Для замкнутого токового контура магнитный момент определяется как:

m = IS,

где S — вектор площади контура, направленный нормалью к плоскости тока.

Расчёт магнитного поля простых конфигураций

  • Прямой бесконечный провод:

$$ B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}. $$

Поле образует концентрические окружности вокруг проводника.

  • Соленоид (длинная катушка с током):

B = μ0nI,

где n — число витков на единицу длины. Поле внутри соленоида почти однородно и направлено вдоль оси.

  • Тороидальная катушка:

$$ B = \frac{\mu_0 N I}{2 \pi r}, $$

где N — общее число витков, r — радиус тора. Поле замкнуто внутри тора и практически отсутствует снаружи.

Силовые взаимодействия в магнитостатике

Силы между токами описываются законом Ампера:

dF = I1dl1 × B2

где B2 — поле, создаваемое вторым током. Взаимодействие двух параллельных прямых проводов:

$$ F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi r}. $$

Параллельные токи притягиваются, антипараллельные — отталкиваются.

Оглавление