Метод точной диагонализации

Определение и назначение метода

Метод точной диагонализации (Exact Diagonalization, ED) является одним из фундаментальных инструментов в теоретической физике конденсированных сред и магнитной физике для изучения квантовых систем с конечным числом степеней свободы. Основная цель метода заключается в нахождении точных собственных значений и собственных векторов гамильтониана квантовой системы, что позволяет полностью описать её спектральные и термодинамические свойства. Этот подход особенно эффективен для низкотемпературных исследований, когда квантовые эффекты играют доминирующую роль.

Основные принципы

Метод основан на линейной алгебре: гамильтониан H квантовой системы представляется в виде конечной матрицы в выбранном базисе, после чего выполняется его точная диагонализация. Собственные значения E_n и собственные векторы |n⟩ удовлетворяют уравнению:

H|n⟩ = E_n|n⟩.

Полученные собственные значения дают полное квантовое спектральное описание системы, а собственные векторы позволяют вычислять любые наблюдаемые величины, включая корреляционные функции, намагниченность и энтропию.

Выбор базиса

Ключевой этап метода — выбор подходящего базиса. В магнитной физике часто используют базис состояний по проекции спина S^z для каждой частицы:

|σ₁, σ₂, ..., σ_N⟩,  σ_i = ↑, ↓ .

Для системы из N спинов 1/2 размер гильбертова пространства равен 2^N. Для спиновых моделей с большим числом частиц прямое хранение матрицы гамильтониана становится невозможным из-за экспоненциального роста размерности. В таких случаях применяют симметрии системы, чтобы уменьшить размерность, разбивая пространство на подпространства с фиксированными значениями квантовых чисел (например, суммарный S_tot^z, момент импульса, трансляционная симметрия).

Симметрии и редукция размерности

Использование симметрий позволяет сократить вычислительные ресурсы:

1. Закон сохранения S_tot^z — гамильтониан сохраняет суммарную проекцию спина. Это делит гильбертово пространство на блоки фиксированного S_tot^z.
2. Трансляционная симметрия — для периодических решёток собственные состояния могут быть классифицированы по волновому числу k, что дополнительно уменьшает размерность блоков.
3. Инверсионная симметрия и симметрия по спину — позволяют выявлять собственные подпространства гамильтониана.

Эти меры позволяют точно решать системы с размерностью порядка 10⁴ − 10⁵, что уже достаточно для анализа малых кластеров и тестирования других приближённых методов.

Диагонализация матрицы гамильтониана

После построения матрицы гамильтониана в выбранном базисе применяется стандартная линейная алгебра. Для малых систем используют полную диагонализацию, позволяющую получить все собственные значения и векторы. Для больших систем применяются итеративные методы, такие как алгоритм Ланцоша (Lanczos), который позволяет находить только несколько низкоэнергетических уровней спектра:

|ψ_n + 1⟩ = H|ψ_n⟩ − α_n|ψ_n⟩ − β_n|ψ_n − 1⟩,

где α_n и β_n определяются через ортогонализацию векторов. Ланцошевский метод особенно полезен для нахождения основного состояния и нескольких низкоэнергетических возбуждённых состояний без необходимости хранения всей матрицы гамильтониана.

Вычисление физических величин

После нахождения собственных состояний можно вычислять практически любые наблюдаемые величины:

• Среднее значение оператора O для состояния |n⟩:

⟨O⟩_n = ⟨n|O|n⟩.

• Термодинамические функции при конечной температуре T:

$$ \langle O \rangle_T = \frac{\sum_n \langle n | O | n \rangle e^{-E_n/k_B T}}{\sum_n e^{-E_n/k_B T}}. $$

• Корреляционные функции спина:

C_ij = ⟨S_i ⋅ S_j⟩ − ⟨S_i⟩⟨S_j⟩.

• Спектральные функции и динамические отклики, необходимые для анализа экспериментальных данных (например, нейтронной дифракции или спектроскопии).

Преимущества метода

• Полная точность результатов для выбранного размера системы.
• Возможность учёта всех квантовых корреляций, включая сильнозависимые и многотельные эффекты.
• Универсальность: метод применим к различным моделям спинов, фермионов и бозонов.
• Возможность проверки приближённых методов, таких как теория возмущений или вариационные методы.

Ограничения

Главное ограничение метода — экспоненциальный рост размерности гильбертова пространства с числом частиц N. Даже с использованием симметрий практическое применение ограничено малыми системами (обычно N ≤ 40 для спин-1/2 систем при современных вычислительных мощностях). Кроме того, метод не масштабируется для больших трёхмерных систем, что требует применения приближённых методов, таких как квантовые Монте-Карло или Density Matrix Renormalization Group (DMRG).

Примеры применения

1. Антиферромагнитные цепочки — точная диагонализация позволяет исследовать спектр и корелляции спинов для малых цепочек и сравнивать результаты с теоретическими предсказаниями Бете.
2. Кластерные модели в магнетизме — расчет энергии основного состояния и возбуждений в кластерах молекулярных магнетиков.
3. Исследование фазовых переходов — анализ малых кластеров для выявления критических точек и поведения энтропии.

Заключение по значимости метода

Метод точной диагонализации является фундаментальным инструментом магнитной физики и квантовой теории многих тел. Он обеспечивает полное решение малых систем, позволяет проверять приближённые методы и исследовать квантовые эффекты, которые невозможно адекватно описать классическими или средними приближениями. Благодаря своей точности и универсальности ED остаётся важным ориентиром для современных исследований в квантовой магнетизме.