Модель Изинга

Модель Изинга является одной из центральных моделей статистической физики, используемой для описания ферромагнитных систем. Она была предложена в начале XX века Эрнстом Изингом для понимания природы магнитных фазовых переходов, особенно в двух- и трёхмерных решётках.

Модель рассматривает систему спинов si, расположенных в узлах кристаллической решётки. Каждый спин может принимать дискретные значения si = ±1, что соответствует ориентации магнитного момента вдоль или против выбранного направления оси. Основная идея заключается в том, что взаимодействие между соседними спинами определяет макроскопическое поведение системы, включая её намагниченность и теплоёмкость.

Гамильтониан модели Изинга

Энергия системы описывается гамильтонианом:

ℋ = −J∑⟨i, j⟩sisj − h∑isi

где:

  • J — константа обменного взаимодействия, характеризующая силу ферромагнитного (J > 0) или антиферромагнитного (J < 0) взаимодействия;
  • ⟨i, j⟩ — обозначение суммирования по парам соседних спинов;
  • h — внешнее магнитное поле, влияющее на систему;
  • si = ±1 — спины в узлах решётки.

Ключевым моментом является то, что гамильтониан модели Изинга учитывает только взаимодействие ближайших соседей, что делает модель аналитически более управляемой и одновременно достаточно реалистичной для качественного описания фазовых переходов.

Методы анализа модели

1. Метод точной диагонализации

Для малых систем можно использовать прямое вычисление энергии всех конфигураций спинов и определение статистических сумм. Этот метод позволяет получить точные значения термодинамических функций, таких как намагниченность, теплоёмкость и восприимчивость, но сильно ограничен по размеру решётки из-за экспоненциального роста числа конфигураций: 2N, где N — количество спинов.

2. Метод переноса матриц (transfer matrix)

В двухмерной модели Изинга метод переноса матриц позволяет свести задачу к вычислению собственных значений матрицы перехода между строками решётки. Именно с его помощью Л. Л. Ланду и Л. К. Меснер смогли получить точное решение для одномерной и двухмерной моделей без внешнего поля.

3. Приближение среднего поля (Mean-Field Approximation)

В рамках этого приближения каждый спин рассматривается как находящийся в эффективном магнитном поле, создаваемом средним значением спинов его соседей:

Heff = Jzm + h

где z — число ближайших соседей, а m = ⟨si⟩ — средняя намагниченность. Это приближение позволяет получить аналитические выражения для температуры Кюри и температурной зависимости намагниченности, хотя оно теряет точность при низких размерностях и вблизи критической точки.

Фазовые переходы в модели Изинга

Одним из ключевых результатов модели является существование фазового перехода второго рода при определённой критической температуре Tc.

  • Для одномерной решётки (d = 1) с J > 0 фазового перехода не наблюдается при конечной температуре — система проявляет намагниченность только при T = 0.
  • Для двумерной решётки (d = 2) при h = 0 известен точный результат Л. Л. Ландау для квадратной решётки:

$$ k_B T_c = \frac{2J}{\ln(1 + \sqrt{2})} $$

  • Для трёхмерной решётки (d = 3) точного решения нет, и обычно применяются численные методы, такие как Монте-Карло симуляции.

Намагниченность m(T) ведёт себя как порядок-параметр:

m(T) ∼ (Tc − T)β,  T < Tc

где β — критический показатель намагниченности. Для двумерной квадратной решётки Изинга β = 1/8.

Критические явления и масштабная теория

Модель Изинга стала основой для теории критических явлений. Она демонстрирует:

  • Спонтанное нарушение симметрии: при T < Tc система выбирает одно из двух направлений намагниченности;
  • Дивергентная восприимчивость: χ ∼ |T − Tc|−γ, где γ — критический показатель;
  • Критическая корреляция: длина корреляции спинов ξ ∼ |T − Tc|−ν стремится к бесконечности при приближении к Tc.

Эти свойства делают модель Изинга важнейшей тестовой системой для развития теории возмущений, ренормгруппы и анализа фазовых переходов.

Применение модели Изинга

Модель Изинга применяется не только в физике магнитных материалов:

  • В статистической механике: как прототип для изучения фазовых переходов;
  • В физике конденсированного состояния: для моделирования ферро- и антиферромагнетиков;
  • В смежных областях: для описания социальных сетей, распространения информации, биологических систем, где элементы принимают дискретные состояния и взаимодействуют с ближайшими соседями.

Модель Изинга является классическим примером, где простая дискретная система демонстрирует сложное коллективное поведение, что делает её центральной для понимания критических явлений и самоорганизации в природе.

Оглавление