Модель Хаббарда

Модель Хаббарда является фундаментальной в теории конденсированных сред и описывает поведение электронов в кристаллических решетках с учетом сильных корреляций между ними. Она была предложена Джоном Хаббардом в 1963 году и стала основой для исследования феноменов, таких как магнетизм, металло-неметаллические переходы и высокотемпературная сверхпроводимость. Модель сочетает два ключевых эффекта: кинетическую энергию электронов, стремящихся к делокализации, и кулоновское отталкивание, ограничивающее двойное занятие одной и той же орбитали.

Формально гамильтониан модели Хаббарда имеет вид:

Ĥ = −t∑⟨i, j⟩, σ(ciσ†cjσ + h.c.) + U∑ini↑ni↓

где:

  • t — интеграл переноса, описывающий вероятность туннелирования электрона между соседними атомами i и j,
  • ciσ† и ciσ — операторы рождения и уничтожения электрона с спином σ на узле i,
  • U — энергия кулоновского отталкивания при двойном занятии узла,
  • niσ = ciσ†ciσ — оператор числа электронов на узле с данным спином.

Эта простая форма гамильтониана скрывает чрезвычайно богатую физику: при малых U/t система ведет себя как обычный металл, а при больших U/t может проявляться коррелированный локализованный магнитный порядок.

Металло-неметаллический переход Мотта

Одна из ключевых особенностей модели Хаббарда — возможность описания перехода Мотта, при котором система переходит из металлического состояния в изолятор при увеличении кулоновского взаимодействия U.

  • Металлическое состояние (U ≪ t): электроны свободно перемещаются по решетке, формируя стандартную электронную зонную структуру.
  • Изолятор Мотта (U ≫ t): двойное занятие узлов сильно подавлено, электроны локализованы, несмотря на неполное заполнение энергетических зон.

Переход Мотта демонстрирует фундаментальный эффект электронной корреляции, который невозможно объяснить в рамках однопартикельной теории Банда.

Магнитные свойства и коррелированные состояния

Модель Хаббарда позволяет исследовать различные виды магнитного порядка:

  • Антиферромагнетизм: при половинном заполнении и больших U/t система переходит в состояние с антиферромагнитным порядком. Эффективный гамильтониан в этом пределе может быть представлен в виде модели Хейзенберга:

$$ \hat{H}_{\text{eff}} = J \sum_{\langle i,j \rangle} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j, \quad J = \frac{4 t^2}{U} $$

  • Ферромагнетизм: при определенных геометриях решетки (например, с сильно фрустрированной топологией) и несимметричном заполнении могут формироваться ферромагнитные состояния.

Корреляции в модели Хаббарда также приводят к формированию спиновой жидкости — квантового состояния с сильно запутанными спинами, без длиннопорядкового магнитного порядка.

Методы решения

Решение модели Хаббарда является сложной задачей из-за взаимодействия между электронами. Существуют различные подходы, применяемые в зависимости от величины U/t и геометрии решетки:

  1. Аналитические приближения

    • Метод Хартри-Фока: учитывает среднее поле и является подходящим при малых корреляциях.
    • Разложение по t/U: применимо при больших U, приводит к эффективной модели Хейзенберга.

  2. Численные методы

    • Диагонализация полной конфигурационной матрицы: эффективна только для малых систем (до ~16 узлов).
    • Метод Монте-Карло: позволяет исследовать термодинамические свойства, но сталкивается с проблемой «знака» при фермионах.
    • Динамическая теория средних полей (DMFT): позволяет получать локальные корреляции и описывать переход Мотта.

  3. Вариационные методы

    • Вариационные волновые функции Гуттингера и Джастинга: включают корреляции через параметры подавления двойного занятия.
    • Тензорные сети (например, PEPS, MPS): современный подход для двумерных и одномерных решеток соответственно.

Применение модели Хаббарда

Модель Хаббарда служит теоретическим фундаментом для изучения многих явлений:

  • Высокотемпературная сверхпроводимость: купратные сверхпроводники описываются как дуплетная решетка Хаббарда с сильными корреляциями.
  • Квантовые магниты: антиферромагнитный порядок при половинном заполнении решетки.
  • Ферромагнетизм и фрустрированные системы: объяснение спиновых жидкостей и нетривиальных магнитных фаз.
  • Холодные атомные газы в оптических решетках: экспериментальная реализация модели Хаббарда в контролируемых условиях.

Модель также служит платформой для проверки новых методов численного моделирования и квантовых симуляторов.

Оглавление