Правила Ланде

Правила Ланде представляют собой один из центральных инструментов в квантовой физике атомов и ядер, позволяя предсказывать магнитные свойства атомных и молекулярных систем, а также их спектроскопические особенности. Они связывают угловой момент электрона с его магнитным моментом и используются для расчёта так называемого ги́ромагнитного отношения или коэффициента Ланде g.

Магнитный момент атома

Атомный магнитный момент обусловлен двумя основными вкладами:

  1. Орбитальный магнитный момент μ⃗L, связанный с движением электрона по орбите вокруг ядра. Он выражается через орбитальный момент импульса L⃗ как:

$$ \vec{\mu}_L = -\mu_B \frac{\vec{L}}{\hbar} $$

где $\mu_B = \frac{e \hbar}{2 m_e}$ — магнитон Бора, e — заряд электрона, me — масса электрона.

  1. Спиновый магнитный момент μ⃗S, связанный со спином электрона S⃗:

$$ \vec{\mu}_S = -g_s \mu_B \frac{\vec{S}}{\hbar} $$

где gs ≈ 2 — спиновый фактор Ланде.

Полный магнитный момент атома определяется суммой этих векторов с учётом их квантовомеханического взаимодействия:

μ⃗ = μ⃗L + μ⃗S

Введение коэффициента Ланде

Когда орбитальный момент и спин электрона взаимодействуют, возникает спин-орбитальное взаимодействие, приводящее к появлению полного углового момента J⃗ = L⃗ + S⃗. В этом случае для связи магнитного момента с полным моментом вводится коэффициент Ланде gJ:

$$ g_J = 1 + \frac{J(J+1) + S(S+1) - L(L+1)}{2J(J+1)} $$

где L, S, J — квантовые числа орбитального, спинового и полного момента соответственно.

Ключевой момент: коэффициент Ланде показывает, насколько магнитный момент атома ориентирован вдоль направления полного углового момента J⃗.

Применение правил Ланде в спектроскопии

Правила Ланде позволяют вычислять эффект Зеемана, когда внешнее магнитное поле взаимодействует с магнитным моментом атома:

ΔE = μBgJMJB

где MJ — магнитное квантовое число полного момента, B — магнитное поле. Это выражение даёт расщепление энергетических уровней в магнитном поле, определяя позиции линий спектра в магнитном спектре атома.

Особенности расчёта

  • Для атомов с одним внешним электроном правила Ланде применяются напрямую, используя L, S и J для конкретного электрона.

  • Для многoэлектронных систем вводится приближение LS-связи (слабое спин-орбитальное взаимодействие), когда суммарные моменты всех электронов сначала суммируются:

    L⃗ = ∑iL⃗i,  S⃗ = ∑iS⃗i

    Затем вычисляется gJ для результирующего J⃗ = L⃗ + S⃗.

Магнитные свойства атомов и молекул

Правила Ланде позволяют прогнозировать:

  1. Парамагнетизм и диамагнетизм. Магнитная восприимчивость атома напрямую связана с величиной его магнитного момента, которая рассчитывается через gJ и J.
  2. Спектроскопические особенности. Линии, соответствующие переходам между уровнями с различными MJ, расслаиваются в магнитном поле.
  3. Выборку разрешённых переходов. Для расчёта интенсивности спектральных линий используется правило отбора: ΔMJ = 0, ±1, где каждая линия соответствует переходу между уровнями с различными MJ.

Примеры расчёта

Пример 1: Один электрон с L = 1 и S = 1/2. Возможные значения J:

J = L + S = 3/2,  J = L − S = 1/2

Коэффициенты Ланде:

$$ g_{3/2} = 1 + \frac{3/2(3/2+1) + 1/2(1/2+1) - 1(1+1)}{2 \cdot 3/2 (3/2 + 1)} = \frac{4}{3} \approx 1.33 $$

$$ g_{1/2} = 1 + \frac{1/2(1/2+1) + 1/2(1/2+1) - 1(1+1)}{2 \cdot 1/2 (1/2 + 1)} = \frac{2}{3} \approx 0.67 $$

Эти значения определяют магнитное взаимодействие каждого уровня с внешним полем.

Заключение по ключевым аспектам

  • Правила Ланде позволяют точно связать квантовые числа атома с его магнитным моментом.
  • Коэффициент Ланде gJ отражает ориентацию магнитного момента относительно полного углового момента.
  • Практическое применение охватывает спектроскопию, магнитные свойства веществ и вычисление энергетических расщеплений в магнитном поле.

Правила Ланде остаются фундаментальным инструментом для анализа поведения атомов и молекул в магнитных полях, обеспечивая переход от чисто квантовомеханических величин к наблюдаемым физическим эффектам.

Оглавление