Закон Био-Савара-Лапласа

Фундаментальная концепция закона Био–Савара–Лапласа заключается в том, что электрический ток порождает магнитное поле, и его интенсивность в любой точке пространства можно вычислить через интеграл по элементу тока. Этот закон является одной из основ магнитостатического анализа и служит аналогом закона Кулона для электростатики.

Математическая формулировка

Для малого элемента проводника длины dl, по которому течёт ток I, магнитное поле dB в точке с радиус-вектором r, относительно элемента тока, определяется выражением:

$$ d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3} $$

где:

  • μ0 — магнитная постоянная (4π ⋅ 10−7 Гн/м),
  • dl — вектор, направленный по элементу проводника,
  • r — вектор, соединяющий элемент тока с точкой наблюдения,
  • r = |r| — расстояние от элемента до точки,
  • × — векторное произведение, что отражает перпендикулярность направления магнитного поля относительно направления тока и линии, соединяющей точку с элементом тока.

Для замкнутого контура или произвольного проводника, создающего ток, общее магнитное поле вычисляется интегрированием по всему контуру:

$$ \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I \, d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3} $$

Геометрические и физические свойства

  1. Направление магнитного поля определяется правилом правой руки: если большой палец указывает направление тока, то согнутые пальцы показывают направление линий магнитного поля.
  2. Линейная суперпозиция: магнитное поле, создаваемое несколькими элементами тока, равно векторной сумме полей от каждого элемента.
  3. Сила поля обратно пропорциональна квадрату расстояния, что следует из r3 в знаменателе и линейного векторного произведения.

Применение закона к простейшим конфигурациям

  1. Прямой бесконечный проводник

Для прямого длинного провода с током I магнитное поле на расстоянии R от провода имеет вид:

$$ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} $$

Поле направлено по касательной к окружности, центром которой является проводник.

  1. Круговой контур с током

Для контура радиуса R магнитное поле в центре окружности вычисляется по формуле:

$$ B = \frac{\mu_0 I}{2R} $$

Здесь направление поля также определяется правилом правой руки.

  1. Соленоид (катушка с витками)

Для длинного соленоида с n витками на единицу длины и током I магнитное поле внутри соленоида почти однородно и равно:

B = μ0nI

При этом вне соленоида поле значительно меньше и в идеальной модели считается пренебрежимо малым.

Связь с другими законами электромагнетизма

  • Закон Био–Савара–Лапласа является микроскопическим выражением закона Ампера для магнитостатических ситуаций.
  • Интегральная форма закона Ампера может быть выведена из закона Био–Савара–Лапласа, применяя циркуляцию вектора магнитной индукции по замкнутому контуру.
  • Является основой для расчёта магнитного поля сложных конфигураций проводников и распределённых токов, таких как токи в проводящих пластинах или токи, моделирующие магниты.

Практическое значение

Закон Био–Савара–Лапласа используется для:

  • Расчёта магнитных полей вокруг электрических проводников в технике и электроэнергетике,
  • Проектирования электромагнитов, трансформаторов и катушек индуктивности,
  • Моделирования магнитных полей в физических экспериментах, таких как опыт Ханса Круксa и определение магнитной проницаемости материалов,
  • Компьютерного моделирования электромагнитных устройств, включая системы связи и медицинские аппараты МРТ.
Оглавление