Резонансные частоты в метаматериалах определяют ключевые свойства таких структур, включая отрицательный показатель преломления, контроль фазовой и групповой скорости, а также возможности сверхсфокусировки и подавления излучения. Аналитический расчет резонансных частот требует глубокого понимания взаимодействия электромагнитного поля с элементарными структурными единицами – резонаторами.
Наиболее распространенным подходом к аналитическому описанию резонансов является аппроксимация резонаторов с помощью эквивалентной электрической цепи, состоящей из индуктивности L и емкости C. Для стандартного спирального или кольцевого резонатора резонансная частота f0 определяется классическим выражением:
$$ f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} $$
Ключевые моменты:
$$ L \approx \mu_0 N^2 r \left( \ln\frac{8r}{a} - 2 \right) $$
где a – радиус провода, μ0 – магнитная постоянная.
$$ C \approx \varepsilon_0 \frac{w t}{g} $$
где w – ширина щели, t – толщина, g – расстояние между краями щели, ε0 – электрическая постоянная.
Эта модель позволяет получить первичную оценку резонансной частоты и понять, как геометрические параметры влияют на спектральные характеристики метаматериала.
В плотных решетках метаматериалов взаимное влияние соседних резонаторов становится критическим. Для двух резонаторов с индуктивной связью M резонансные частоты подчиняются условию:
$$ \omega_\pm^2 = \frac{1}{LC} \left( 1 \pm \frac{M}{L} \right) $$
где ω± – собственные частоты системы из двух связанных резонаторов.
Важно: при большой плотности структуры происходит формирование полос пропускания и запрещенные зоны, аналогичные зонной структуре кристаллов.
Некоторые метаматериалы используют резонаторы с множественными резонансными частотами (многокольцевые или многослойные структуры). Для аналитической оценки таких систем применяются методы суперпозиции отдельных LC-цепей с учетом индуктивной и емкостной связи между уровнями:
det |Z(ω)| = 0
где Z(ω) – матрица импедансов системы. Решение уравнения позволяет найти набор резонансных частот {ω1, ω2, ..., ωn}.
Для сложных хиральных и спиральных резонаторов аналитический подход может опираться на разложение поля на гармоники:
$$ I(\phi) = \sum_{n=1}^{\infty} I_n \sin(n \phi + \delta_n) $$
где In – амплитуда гармоники, δn – фазовый сдвиг, ϕ – угловая координата по виткам резонатора. Резонансная частота определяется как та, при которой суммарная индуктивная и емкостная реактивность каждой гармоники компенсируется:
$$ \omega_n L_n = \frac{1}{\omega_n C_n} $$
Реальные резонаторы обладают потерями, которые учитываются через введение активного сопротивления R. Тогда полная резонансная частота для LC-резонатора с потерями корректируется:
$$ \omega_r = \sqrt{\frac{1}{LC} - \left(\frac{R}{2L}\right)^2} $$
Для нелинейных метаматериалов, где C или L зависят от амплитуды поля, резонансная частота становится амплитудно-зависимой, что требует решения нелинейного уравнения вида:
$$ \frac{1}{L(I) C(I)} = \omega^2 $$
Для периодических массивов резонаторов удобен подход с использованием диаграмм Бриллюэна и матриц передачи, позволяющих вычислить собственные моды и резонансные частоты всего метаматериала. Основное уравнение для одномерной цепи:
$$ \begin{bmatrix} V_{n+1} \\ I_{n+1} \end{bmatrix} = \mathbf{T} \begin{bmatrix} V_n \\ I_n \end{bmatrix}, \quad \det(\mathbf{T} - e^{i k d} \mathbf{I}) = 0 $$
где T – матрица передачи одного резонатора, d – шаг решетки, k – волновое число, I – единичная матрица.
Решение этого уравнения дает диапазоны резонансных частот и их зависимость от параметров решетки.
Эти подходы обеспечивают аналитическое понимание физики резонансных явлений в метаматериалах и служат фундаментом для точного проектирования новых функциональных структур.