Формулы Максвелла-Гарнетта и Бруггемана

Метаматериалы — это искусственно созданные структуры, обладающие электромагнитными свойствами, которых нет в природе. Их уникальные характеристики напрямую зависят от способа описания эффективных параметров материала, таких как диэлектрическая проницаемость εeff и магнитная проницаемость μeff. Для расчета этих параметров применяются классические модели гомогенизации, в частности формулы Максвелла–Гарнетта и Бруггемана.

1. Формула Максвелла–Гарнетта

Формула Максвелла–Гарнетта применяется для разреженных композитов, где одна фаза (включения) диспергирована в другой (матрице) при низкой концентрации включений. Основная идея — учитывать локальные поля вокруг сферических включений.

Электрическая версия для сферических включений:

$$ \varepsilon_\text{eff} = \varepsilon_m \frac{\varepsilon_i + 2 \varepsilon_m + 2f (\varepsilon_i - \varepsilon_m)}{\varepsilon_i + 2 \varepsilon_m - f (\varepsilon_i - \varepsilon_m)} $$

где:

  • εm — диэлектрическая проницаемость матрицы,
  • εi — диэлектрическая проницаемость включений,
  • f — объемная доля включений.

Магнитная аналогия формулы Максвелла–Гарнетта:

$$ \mu_\text{eff} = \mu_m \frac{\mu_i + 2 \mu_m + 2f (\mu_i - \mu_m)}{\mu_i + 2 \mu_m - f (\mu_i - \mu_m)} $$

Ключевые особенности формулы Максвелла–Гарнетта:

  • Работает при низкой концентрации включений (f < 0.3).
  • Предполагает, что включения сферические и изолированы друг от друга.
  • Локальные поля вокруг каждого включения не взаимодействуют.
  • Хорошо подходит для метаматериалов с диспергированными наночастицами.

Пример применения: рассчитать эффективную диэлектрическую проницаемость композита с кремниевыми наночастицами в полимерной матрице при объёмной доле f = 0.1.

2. Формула Бруггемана

Формула Бруггемана (или Bruggeman Effective Medium Approximation, EMA) расширяет модель Максвелла–Гарнетта на средние концентрации включений, позволяя учитывать взаимное влияние фаз.

Общая форма для двухфазного композита:

$$ f \frac{\varepsilon_i - \varepsilon_\text{eff}}{\varepsilon_i + 2 \varepsilon_\text{eff}} + (1-f) \frac{\varepsilon_m - \varepsilon_\text{eff}}{\varepsilon_m + 2 \varepsilon_\text{eff}} = 0 $$

где все обозначения аналогичны предыдущей формуле.

Магнитная версия:

$$ f \frac{\mu_i - \mu_\text{eff}}{\mu_i + 2 \mu_\text{eff}} + (1-f) \frac{\mu_m - \mu_\text{eff}}{\mu_m + 2 \mu_\text{eff}} = 0 $$

Особенности модели Бруггемана:

  • Позволяет рассматривать средние и высокие концентрации включений.
  • Фазу включений и матрицу можно заменять местами, что делает формулу симметричной.
  • Решение обычно требует численного метода, так как уравнение является нелинейным относительно εeff.
  • Хорошо описывает перколяционные эффекты, возникающие при росте концентрации включений.

Пример использования: оценка магнитной проницаемости композита с ферромагнитными частицами в диэлектрической матрице при f = 0.4.

3. Сравнение подходов

Характеристика Максвелла–Гарнетт Бруггеман
Концентрация включений низкая ( < 0.3) средняя и высокая (0 < f < 0.6 − 0.7)
Форма включений сферическая сферическая (но более гибкая для композитов)
Взаимодействие локальных полей не учитывается учитывается частично
Симметрия фаз нет да
Решение аналитическое часто численное

4. Применение к метаматериалам

В метаматериалах формулы Максвелла–Гарнетта и Бруггемана позволяют:

  • Рассчитывать эффективные электромагнитные параметры, которые определяют пропускание и отражение волн.
  • Проектировать частотные характеристики композитов с заданной диэлектрической или магнитной проницаемостью.
  • Оценивать порог перколяции, когда композит начинает демонстрировать новые свойства, например отрицательную диэлектрическую проницаемость или магнитную проницаемость.

Пример метаматериала: резонансные спиральные структуры в полимерной матрице, где локальные магнитные моменты создают отрицательную μeff. Здесь формулы EMA позволяют рассчитать эффективные параметры до изготовления образца.

Оглавление