Метод конечных разностей во временной области (Finite-Difference Time-Domain, FDTD) является одним из наиболее универсальных и широко применяемых численных методов для моделирования электромагнитных полей. Он позволяет решать уравнения Максвелла во временной области и обеспечивает прямое получение временных и спектральных характеристик исследуемой системы.
В основе метода лежит представление непрерывного пространства и времени через сетку дискретных точек. Пространственная дискретизация обычно выполняется по схемам Ягги-Кокс (Yee grid), где компоненты электрического и магнитного поля смещены относительно друг друга на половину шага сетки. Это обеспечивает устойчивость и точность расчета.
Обозначим шаги дискретизации по координатам как Δx, Δy, Δz и шаг по времени как Δt. Уравнения Максвелла в разностной форме для однородной изотропной среды имеют вид:
$$ \frac{E^{n+1} - E^n}{\Delta t} = \frac{1}{\varepsilon} (\nabla \times H)^{n+1/2} $$
$$ \frac{H^{n+1/2} - H^{n-1/2}}{\Delta t} = -\frac{1}{\mu} (\nabla \times E)^n $$
где n — номер временного шага, E и H — векторы электрического и магнитного поля соответственно, ε и μ — диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость среды.
Ключевой момент: электрическое и магнитное поля вычисляются в так называемой “чередующейся сетке”, что повышает точность аппроксимации ротора и предотвращает численные нестабильности.
Для обеспечения численной устойчивости метода FDTD необходимо соблюдать условие Куранта:
$$ \Delta t \leq \frac{1}{c \sqrt{\frac{1}{\Delta x^2} + \frac{1}{\Delta y^2} + \frac{1}{\Delta z^2}}} $$
где $c = 1/\sqrt{\varepsilon \mu}$ — скорость распространения электромагнитной волны в среде. Нарушение этого условия приводит к расходимости решения, что проявляется в нарастающих численных артефактах.
Для моделирования бесконечной среды необходимо корректно задавать граничные условия. Наиболее распространенные подходы:
Ключевой момент: качество аппроксимации границ напрямую влияет на точность моделирования резонансных и дисперсионных свойств структуры.
Метаматериалы характеризуются необычными электромагнитными свойствами, такими как отрицательные диэлектрическая и магнитная проницаемость. В рамках FDTD эти свойства учитываются введением дисперсионных моделей:
Эти модели реализуются через введение дополнительных вспомогательных переменных и разностных схем, которые корректируют обновление поля на каждом временном шаге.
Для среды с частотной зависимостью ε(ω) используется метод вспомогательных дифференциальных уравнений (ADE-FDTD). Например, для модели Лоренца:
$$ \varepsilon(\omega) = \varepsilon_\infty + \frac{\Delta\varepsilon \omega_0^2}{\omega_0^2 - \omega^2 - i \gamma \omega} $$
Электромагнитное поле обновляется через вспомогательную переменную поляризации P:
$$ \frac{d^2 P}{dt^2} + \gamma \frac{dP}{dt} + \omega_0^2 P = \Delta \varepsilon \omega_0^2 E $$
Дискретизация этого уравнения позволяет точно моделировать резонансные эффекты метаматериалов.
Метод FDTD активно используется для:
Ключевой момент: FDTD позволяет одновременно получать временные и частотные характеристики структуры, что делает его особенно ценным для изучения динамики волновых процессов в метаматериалах.