Пространственная дисперсия характеризует зависимость отклика материала на электромагнитное поле не только от частоты, но и от волнового вектора поля. В стандартной модели локального отклика электрическая поляризация P(r, t) в точке r зависит исключительно от электрического поля E(r, t) в этой же точке:
P(r, ω) = ε0χ(ω)E(r, ω),
где χ(ω) — частотно-зависимая электрическая восприимчивость.
При пространственной дисперсии возникает нелокальный отклик, когда поляризация в данной точке зависит от поля в соседних точках:
P(r, ω) = ε0∫χ(r − r′, ω)E(r′, ω) d3r′.
В спектральной области это сводится к волновому вектору k:
P(k, ω) = ε0χ(k, ω)E(k, ω),
где χ(k, ω) — волновекторно- и частотно-зависимая восприимчивость.
Ключевой момент: пространственная дисперсия проявляется при характеристических масштабах структуры, сопоставимых с длиной волны, либо при сильной анизотропии включений в метаматериалах.
В метаматериалах нелокальность возникает из-за нескольких факторов:
Математически нелокальные эффекты удобно описывать через разложение по волновым векторам:
$$ \varepsilon(\mathbf{k}, \omega) = \varepsilon_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n(\omega) (\mathbf{k} \cdot \mathbf{k})^n, $$
где αn(ω) — коэффициенты пространственной дисперсии. В линейной аппроксимации учитывают лишь первые члены разложения.
1. Изменение фазовой и групповй скоростей В локальных материалах фазовая скорость vp и групповая vg связаны с частотой и волновым числом через простое соотношение vp = ω/k. В нелокальных системах дисперсионное соотношение становится более сложным:
det [kikj − k2δij + ω2μ0εij(k, ω)] = 0.
Это ведет к появлению аномальных зон пропускания и к эффектам отрицательной рефракции даже без отрицательных локальных параметров ε и μ.
2. Дополнительные моды Нелокальные эффекты вызывают появление дополнительных волн, которые не существуют в локальном описании. Эти моды могут иметь необычные свойства: обратное направление фазовой скорости, высокая степень анизотропии, комплексное затухание.
3. Ограничение на применение формулы Максвелла-Гарнетта Классические формулы эффективных параметров перестают быть точными, если размер включений превышает ∼ λ/10. В этом случае необходимо использовать подходы с учетом пространственной дисперсии: методы многомасштабного гомогенизированного описания, или расчет ε(k, ω) через численные методы.
1. Дебаевская модель Представляет нелокальную восприимчивость как функцию волнового вектора, описывая её разложением в ряд:
χ(k, ω) = χ0(ω) + β(ω)k2 + γ(ω)k4 + …
2. Модель гидродинамической нелокальности для плазмонов Для металлических метаматериалов с плазменными включениями поляризация электронного газа подчиняется уравнению гидродинамики:
$$ \frac{\partial^2 \mathbf{P}}{\partial t^2} + \gamma \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} - \beta^2 \nabla (\nabla \cdot \mathbf{P}) = \varepsilon_0 \omega_p^2 \mathbf{E}, $$
где β — параметр нелокальности, ωp — плазменная частота, γ — коэффициент затухания.
Ключевой аспект: правильное включение пространственной дисперсии критично для точного расчета полос пропускания, аномальной рефракции и потерь в метаматериалах.
Пространственная дисперсия часто приводит к эффекту отрицательной рефракции без необходимости отрицательных локальных ε и μ. Дополнительные моды и аномальные дисперсионные кривые создают ситуации, когда фазовая скорость и поток энергии направлены противоположно. Это ключевой механизм формирования метаматериалов с необычными оптическими свойствами.
Нелокальные эффекты влияют на распределение потерь по волновым числам. Появление дополнительных мод может усиливать локальные электрические поля внутри включений, увеличивая джоулевы потери и делая диссипацию волновекторно-зависимой.
Практический вывод: при проектировании метаматериалов необходимо учитывать не только частотную, но и пространственную дисперсию, чтобы точно прогнозировать затухание и резонансные свойства.