Четырехимпульс и его инвариантность

Определение четырехимпульса

В релятивистской механике ключевую роль играет четырехимпульс Pμ частицы, который объединяет энергию и импульс в единую четырехмерную величину. Он определяется как:

$$ P^\mu = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right), $$

где:

  • E — полная релятивистская энергия частицы,
  • p = (px, py, pz) — трехмерный импульс,
  • c — скорость света,
  • μ = 0, 1, 2, 3 — индекс четырехмерного пространства Минковского (0 — временная компонента, 1,2,3 — пространственные).

Ключевой момент: временная компонента четырехимпульса пропорциональна энергии, а пространственные — обычному трехмерному импульсу. Такое объединение делает формализм релятивистски ковариантным.

Связь с массой и скоростью

Для частицы с покойной массой m0 и скоростью v в системе отсчета:

p = γm0v,  E = γm0c2,

где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — релятивистский фактор Лоренца. Тогда четырехимпульс принимает вид:

Pμ = (γm0c, γm0v).

Замечание: при малых скоростях (v ≪ c) γ ≈ 1, и четырехимпульс переходит в классический вид (m0c, m0v).

Инвариантность квадрата четырехимпульса

Одна из ключевых характеристик четырехимпульса — инвариантность его квадрата:

$$ P_\mu P^\mu = \left(\frac{E}{c}\right)^2 - \mathbf{p}^2 = m_0^2 c^2. $$

Эта величина не зависит от системы отсчета. Она обеспечивает согласованность с релятивистской энергией и импульсом:

E2 = p2c2 + m02c4.

Ключевой момент: это уравнение связывает энергию, импульс и массу независимо от движения наблюдателя. Оно является фундаментальным для всех релятивистских взаимодействий.

Преобразования четырехимпульса

Под действием Лоренцевого преобразования между инерциальными системами отсчета (S → S′) компоненты четырехимпульса изменяются следующим образом:

$$ \begin{cases} E' = \gamma (E - v p_x),\\[2mm] p_x' = \gamma (p_x - v E/c^2),\\[1mm] p_y' = p_y,\\ p_z' = p_z, \end{cases} $$

где v — скорость движения системы S′ относительно S вдоль оси x. При этом инвариантность квадрата четырехимпульса сохраняется:

(E′/c)2 − (px′2 + py′2 + pz′2) = (E/c)2 − p2 = m02c2.

Это подчеркивает, что четырехимпульс является четырехмерным вектором Минковского, корректно преобразующимся при смене систем отсчета.

Взаимодействия частиц и сохранение четырехимпульса

В релятивистской физике законы сохранения энергии и импульса объединяются в закон сохранения четырехимпульса:

∑iPiμ = const.

Для двухчастичного столкновения:

P1μ + P2μ = P1′μ + P2′μ.

Пример: при упругом релятивистском столкновении:

  • Энергия и импульс каждой частицы могут изменяться,
  • но сумма четырехимпульсов до и после столкновения остается неизменной.

Это обеспечивает универсальность формализма и позволяет использовать инварианты для расчета реакций, даже если скорости частиц близки к скорости света.

Масless частицы

Для фотонов или других безмассовых частиц m0 = 0 четырехимпульс принимает вид:

$$ P^\mu = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right), \quad E = pc. $$

Инвариант квадрата четырехимпульса равен нулю:

$$ P_\mu P^\mu = \left(\frac{E}{c}\right)^2 - p^2 = 0. $$

Ключевой момент: даже для массы равной нулю, четырехимпульс остается корректной релятивистской величиной, а его направление совпадает с направлением движения.

Физическая интерпретация

  1. Временная компонента E/c отражает способность частицы выполнять работу и создавать поле энергии.
  2. Пространственная компонента p отражает движение и передачу импульса при взаимодействиях.
  3. Квадрат четырехимпульса PμPμ служит релятивистским аналогом массы и остается неизменным в любых инерциальных системах.

Таким образом, четырехимпульс является универсальным инструментом для анализа движения и взаимодействия частиц, позволяя согласованно описывать энергию и импульс в единой релятивистской структуре.

Оглавление