Четырехпотенциал электромагнитного поля

В релятивистской физике классическое описание электромагнитного поля через векторное и скалярное потенциалы удобно объединить в единую четырехмерную величину — четырехпотенциал. Это позволяет представить электромагнитные взаимодействия в форме, инвариантной относительно преобразований Лоренца.

Определение четырехпотенциала

Четырехпотенциал обозначается как A^μ и определяется компонентами:

$$ A^\mu = \left( \frac{\phi}{c}, \mathbf{A} \right) = \left( \frac{\phi}{c}, A^1, A^2, A^3 \right), $$

где:

ϕ — скалярный потенциал электрического поля,
A = (A¹, A², A³) — векторный потенциал магнитного поля,
c — скорость света.

Индекс μ пробегает значения 0, 1, 2, 3, при этом 0 соответствует временной компоненте, а 1, 2, 3 — пространственным.

Ключевой момент: объединение скалярного и векторного потенциалов в четырехвектор делает уравнения электродинамики ковариантными в релятивистском смысле.

Связь с электромагнитным полем

Электрическое и магнитное поля могут быть выражены через четырехпотенциал с помощью тензора электромагнитного поля F^μν:

F^μν = ∂^μA^ν − ∂^νA^μ,

где $\partial^\mu = \frac{\partial}{\partial x_\mu} = \left( \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, -\nabla \right)$ — четырехградиент.

Компоненты F^μν связаны с полями E и B следующим образом:

$$ F^{0i} = \frac{E^i}{c}, \quad F^{ij} = -\epsilon^{ijk} B^k, $$

где i, j, k = 1, 2, 3, а ϵ^ijk — символ Леви-Чивиты.

Следствие: все уравнения Максвелла в вакууме могут быть компактно записаны через F^μν:

∂_μF^μν = μ₀j^ν,

где j^ν = (cρ, j) — четырехток заряженной среды.

Калибровочная свобода

Четырехпотенциал не уникален: можно добавить производную скалярного поля Λ(x^μ) без изменения физических полей E и B:

A′^μ = A^μ + ∂^μΛ.

Выбор Λ называется калибровкой, и на практике часто используются:

Лоренцева калибровка: ∂_μA^μ = 0
Кулоновская калибровка: ∇ ⋅ A = 0

Ключевой момент: калибровочная свобода отражает фундаментальный принцип, что только поля, а не потенциалы, обладают физической значимостью.

Волновое уравнение для четырехпотенциала

При Лоренцевой калибровке уравнения Максвелла для потенциалов принимают компактную форму волнового уравнения:

▫A^μ = μ₀j^μ,

где оператор Д’Аламбера ▫ определяется как:

$$ \square = \partial_\mu \partial^\mu = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2. $$

Это уравнение показывает, что четырехпотенциал распространяется как волна со скоростью света и источником в виде четырехтока.

Преобразования Лоренца

Четырехпотенциал A^μ является четырехвектором, что означает его преобразование при переходе в инерциальную систему, движущуюся со скоростью v, по правилу:

A′^μ = Λ_ν^μA^ν,

где Λ_ν^μ — матрица преобразования Лоренца.

Следствие: физические наблюдаемые величины, такие как E и B, корректно трансформируются между инерциальными системами.

Применение четырехпотенциала

Квантовая электродинамика (КЭД): в квантовых теориях поля элементарные взаимодействия между заряженными частицами описываются обменом квантом поля — фотоном, который связан с A^μ.
Релятивистские движения заряженных частиц: уравнение Лоренца для движения частицы в электромагнитном поле через четырехпотенциал записывается как:

$$ \frac{d p^\mu}{d \tau} = q F^{\mu\nu} u_\nu, $$

где p^μ — четырехимпульс, u^ν — четырехскорость, q — заряд частицы. 3. Волновая оптика и излучение: формулировка в терминах четырехпотенциала упрощает анализ излучения ускоряющихся зарядов.

Энергия и импульс электромагнитного поля через потенциалы

Энергетика и импульс электромагнитного поля могут быть выражены через потенциалы, что удобно для релятивистского анализа:

$$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\lambda} F^\nu_{\ \lambda} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} \right), $$

где T^μν — тензор энергии-импульса, η^μν — метрический тензор Минковского.

Ключевой момент: использование четырехпотенциала обеспечивает единообразное описание энергии и импульса электромагнитного поля в любой инерциальной системе отсчета.