Дифференциальная геометрия искривленного пространства-времени

1. Метрический тензор и локальная структура пространства-времени

Основным объектом релятивистской геометрии является метрический тензор g_μν, который задаёт способ измерения интервалов между событиями в четырёхмерном пространстве-времени. Элементарный интервал (длину четырёхмерного вектора) выражают через метрику как:

ds² = g_μνdx^μdx^ν,

где dx^μ — дифференциалы координат в локальной системе, а индексы μ, ν = 0, 1, 2, 3 соответствуют временной и трём пространственным координатам.

Ключевой момент: метрический тензор полностью определяет локальную геометрию пространства-времени, включая кривизну и расстояния между событиями.

2. Ковариантные и контравариантные компоненты

Четырёхвекторы и тензоры имеют ковариантные (нижние индексы) и контравариантные (верхние индексы) компоненты. Связь между ними определяется метрикой:

V_μ = g_μνV^ν,  V^μ = g^μνV_ν,

где g^μν — обратный метрический тензор, удовлетворяющий условию:

g^μαg_αν = δ_ν^μ.

Это фундаментальное соотношение обеспечивает согласованность всех операций с тензорами в искривлённом пространстве.

3. Кривизна и тензор Римана

Для описания искривления пространства-времени вводят тензор кривизны Римана R _σμν^ρ, который измеряет, как вектор изменяется при параллельном переносе по замкнутому контуру:

(∇_μ∇_ν − ∇_ν∇_μ)V^ρ = R _σμν^ρV^σ.

Здесь ∇_μ — ковариантная производная, учитывающая искривление. Тензор Римана полностью определяет локальные свойства кривизны и лежит в основе уравнений Эйнштейна.

Свойства тензора Римана:

• Антисимметрия по последним двум индексам: R _σμν^ρ = −R _σνμ^ρ
• Выполнение тождества Бьянки: ∇_[λR_μν]ρσ = 0, что имеет ключевое значение для сохранения энергии и импульса.

4. Тензор Риччи и скалярная кривизна

Из тензора Римана получают тензор Риччи R_μν сокращением индексов:

R_μν = R _μλν^λ.

Далее вводят скалярную кривизну R:

R = g^μνR_μν.

Эти величины входят в уравнения Эйнштейна, связывая геометрию пространства-времени с распределением энергии и импульса.

5. Параллельный перенос и ковариантная производная

В искривлённом пространстве обычная производная не сохраняет тензорную структуру. Поэтому используют ковариантную производную ∇_μ, определяемую через коэффициенты связности Кристоффеля Γ_μν^λ:

∇_μV^ν = ∂_μV^ν + Γ_μλ^νV^λ.

Коэффициенты связности выражаются через метрику:

$$ \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu} \right). $$

Ключевой момент: ковариантная производная обеспечивает корректное описание изменения векторов и тензоров в криволинейной системе координат.

6. Геодезические линии

Геодезическая — это траектория, вдоль которой вектор скорости частицы переносится параллельно самому себе:

$$ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu\sigma} \frac{dx^\nu}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0, $$

где τ — собственное время частицы. Геодезические линии играют роль “прямых линий” в искривлённом пространстве-времени, определяя свободное движение частиц и света.

7. Локальные инерциальные системы

В любой точке искривлённого пространства-времени можно выбрать локальную систему координат, где метрика приближается к метрике Минковского η_μν и коэффициенты связности исчезают в данной точке:

g_μν(x₀) = η_μν,  Γ_μν^λ(x₀) = 0.

Это выражение принципа эквивалентности: в малой окрестности гравитационного поля законы СТО применимы как в плоском пространстве.

8. Дифференциальные формы и объемные элементы

Для интегрирования физических величин удобно использовать объёмный элемент в искривлённом пространстве:

$$ d^4 x \sqrt{-g}, $$

где g = det (g_μν). Такой подход позволяет корректно формулировать законы сохранения энергии, импульса и уравнения поля в релятивистской физике.

9. Тензор энергии-импульса и уравнения Эйнштейна

Связь кривизны и материи выражается через тензор энергии-импульса T_μν и уравнения Эйнштейна:

$$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}. $$

Ключевой момент: уравнения Эйнштейна — фундаментальный результат релятивистской геометрии, где материя определяет геометрию, а геометрия задаёт движение материи.

10. Симметрии и тензор Киллинга

Симметрии пространства-времени описываются тензорами Киллинга K_μν, удовлетворяющими условию:

∇_(μK_νσ) = 0.

Наличие таких симметрий позволяет выделять сохранные величины, например энергию и угловой момент, что крайне важно для анализа динамики систем в искривлённом пространстве.