Доплеровский эффект описывает изменение частоты или длины волны излучения, воспринимаемой наблюдателем, относительно источника, который движется относительно него. В классической физике этот эффект хорошо известен для звуковых волн и электромагнитного излучения при малых скоростях относительно скорости света c. В релятивистской физике, когда скорости источника и наблюдателя сравнимы с c, проявляются дополнительные эффекты, связанные с преобразованием Лоренца и зависимостью времени от системы отсчета.
Ключевая особенность релятивистского эффекта: наблюдаемая частота зависит не только от скорости сближения или удаления, но и от релятивистского замедления времени (time dilation) для движущегося источника.
Для источника, движущегося со скоростью v относительно наблюдателя, релятивистская формула Доплера для электромагнитного излучения вдоль линии прямой видимости (направление движения и наблюдения совпадают) имеет вид:
$$ f_\text{набл} = f_\text{ист} \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}, \quad \beta = \frac{v}{c} $$
где:
Различие со звуковым Доплером: в релятивистском случае не существует «симметричного» замедления, зависящего только от скорости относительно среды. Здесь учитывается инвариантность скорости света и релятивистское замедление времени источника.
Если движение источника не вдоль прямой, соединяющей его с наблюдателем, а под углом θ (в системе наблюдателя), формула принимает вид:
$$ f_\text{набл} = f_\text{ист} \frac{\sqrt{1 - \beta^2}}{1 - \beta \cos\theta}. $$
Здесь:
Эта формула учитывает как линейный сдвиг частоты из-за движения, так и релятивистское замедление времени.
В релятивистской физике различают два основных вида смещения спектра:
Для малых скоростей (β ≪ 1) релятивистская формула переходит в классическую:
fнабл ≈ fист(1 + βcos θ).
Релятивистский Доплеровский эффект является ключевым для анализа спектров быстрых астрофизических объектов:
Помимо изменения частоты, релятивистское движение источника влияет на интенсивность излучения. Этот эффект известен как релятивистский беаминг:
$$ I_\text{набл} = I_\text{ист} \, \delta^3, \quad \delta = \frac{1}{\gamma (1 - \beta \cos\theta)}, \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}. $$
Здесь δ — релятивистский фактор Доплера. Он показывает, что излучение, направленное в сторону наблюдателя, усиливается, а в противоположную сторону — ослабляется.
| Характеристика | Классический Доплер | Релятивистский Доплер |
|---|---|---|
| Зависимость от скорости | Линейная, Δf/f ∼ v/c | Нелинейная, включает $\sqrt{1-\beta^2}$ |
| Ограничение скорости | Любая скорость | v < c |
| Учёт времени | Нет | Да, учитывается релятивистское замедление времени |
| Применение | Звук, низкие скорости | Свет, высокие скорости, астрофизика, GPS |
Релятивистский Доплеровский эффект важен не только в теории, но и в инженерной практике:
Линейное движение к наблюдателю:
$$ f_\text{набл} = f_\text{ист} \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}} $$
Движение под углом θ:
$$ f_\text{набл} = f_\text{ист} \frac{\sqrt{1 - \beta^2}}{1 - \beta \cos\theta} $$
Релятивистский беаминг (интенсивность):
$$ I_\text{набл} = I_\text{ист} \left[\frac{1}{\gamma(1 - \beta \cos\theta)}\right]^3 $$
Эти формулы полностью описывают релятивистский Доплеровский эффект и его влияние на наблюдаемое излучение, учитывая как изменение частоты, так и релятивистскую аномалию яркости.