Движение заряженной частицы в электромагнитном поле описывается уравнением Лоренца. Для частицы с массой m и зарядом q в электромагнитном поле с электрическим вектором E и магнитным вектором B справедливо уравнение:
$$ \frac{d\mathbf{p}}{dt} = q\left(\mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B}\right), $$
где p = γmv — релятивистский импульс частицы, $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — фактор Лоренца, c — скорость света, v — скорость частицы.
В релятивистской физике важно учитывать зависимость массы частицы от скорости через фактор γ, что приводит к отличиям от классической динамики.
В релятивистской формулировке удобно использовать четырёхмерный импульс pμ = (γmc, γmv) и четырехмерный ток Fμν электромагнитного поля (тензор электромагнитного поля). Уравнение движения частицы тогда имеет вид:
$$ \frac{d p^\mu}{d \tau} = q F^{\mu\nu} u_\nu, $$
где $u_\nu = \frac{dx_\nu}{d\tau}$ — четырехскорость, τ — собственное время частицы.
Эта запись гарантирует инвариантность уравнения относительно преобразований Лоренца и делает формализм компактным и удобным для релятивистских задач.
Для случая однородного электрического поля E = const и отсутствия магнитного поля, уравнение Лоренца упрощается до:
$$ \frac{d\mathbf{p}}{dt} = q \mathbf{E}. $$
В релятивистском случае интегрирование приводит к зависимости скорости от времени:
$$ \mathbf{v}(t) = \frac{q \mathbf{E} t}{\sqrt{m^2 c^2 + (q E t)^2}}. $$
Из этого следует, что скорость частицы асимптотически стремится к c, но никогда её не превышает, что полностью согласуется с релятивистским ограничением.
Если B = const, E = 0, частица движется по спирали вокруг линий магнитного поля. В этом случае сила Лоренца перпендикулярна скорости, поэтому модуль скорости остаётся постоянным:
$$ \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \frac{q}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}. $$
Для релятивистской частицы круговое движение имеет частоту:
$$ \omega = \frac{q B}{\gamma m c}. $$
Обратите внимание на фактор γ, который уменьшает циклическую частоту по сравнению с классическим случаем.
Если присутствуют одновременно электрическое и магнитное поля, то траектория частицы определяется комбинацией ускорения вдоль поля E и вращательного движения из-за B. Для простоты рассмотрим E ⟂ B. В этом случае релятивистская динамика ведет к появлению дрифта Е×B:
$$ \mathbf{v}_{\text{drift}} = c \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}. $$
Этот дрейф не зависит от массы и заряда частицы, но общий путь частицы всё же учитывает релятивистский фактор в круговом движении.
Полная энергия релятивистской частицы:
ℰ = γmc2,
а её изменение под действием электрического поля определяется выражением:
$$ \frac{d\mathcal{E}}{dt} = q \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}. $$
Важно: магнитное поле не совершает работы на частицу, так как сила Лоренца перпендикулярна скорости.
$$ r_L = \frac{\gamma m v_\perp c}{q B}, $$
где v⟂ — составляющая скорости перпендикулярная полю. 3. Перпендикулярные поля E и B: комбинированное движение с дрейфом Е×B. 4. Произвольные поля: для аналитического решения чаще используют тензорную формулировку и численные методы интегрирования уравнений Лоренца.