f(R)-гравитация представляет собой обобщение общей теории относительности (ОТО), в котором лагранжиан гравитационного поля выражается не просто через скаляр кривизны R, а через произвольную функцию f(R). Это позволяет описывать различные модифицированные модели гравитации, способные объяснять ускоренное расширение Вселенной и космологические феномены без введения темной энергии.
Модифицированное действие в f(R)-гравитации имеет вид:
$$ S = \frac{1}{2\kappa} \int d^4x \sqrt{-g} f(R) + S_m, $$
где κ = 8πG, g — детерминант метрики gμν, Sm — действие материи.
В отличие от стандартной ОТО, где лагранжиан линейно зависит от R, вариация действия по метрике в f(R)-гравитации дает поле уравнения четвертого порядка:
$$ f_R(R) R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} f(R) g_{\mu\nu} + \big(g_{\mu\nu} \Box - \nabla_\mu \nabla_\nu\big) f_R(R) = \kappa T_{\mu\nu}, $$
где $f_R(R) \equiv \frac{df}{dR}$, □ ≡ gαβ∇α∇β — оператор Д’Аламбера, Tμν — тензор энергии-импульса материи.
Ключевой момент: появление дополнительных членов с производными fR(R) приводит к динамическому скалярному степеню свободы, которого нет в стандартной ОТО. Этот скаляр играет роль «скалярного поля», способного индуцировать космологическое ускорение.
Через введение вспомогательного скалярного поля ϕ = fR(R) действие f(R)-гравитации может быть приведено к форме скалярно-тензорной теории:
$$ S = \frac{1}{2\kappa} \int d^4x \sqrt{-g} \big[ \phi R - V(\phi) \big] + S_m, $$
где потенциал V(ϕ) = ϕR(ϕ) − f(R(ϕ)).
Важное следствие: это позволяет трактовать модифицированную гравитацию как взаимодействие метрики с динамическим скалярным полем. В космологии этот подход используется для описания раннего инфляционного этапа и позднего ускоренного расширения.
Для статических сферически симметричных решений можно рассматривать метрику Шварцшильда-тип:
ds2 = −A(r)dt2 + B(r)dr2 + r2dΩ2.
Уравнения движения в f(R)-гравитации приводят к модифицированным условиям для A(r) и B(r), что позволяет описывать альтернативные черные дыры с различной структурой горизонтов и асимптотическим поведением.
Пример: для функции f(R) = R + αR2 решения включают корректировки Шварцшильда с малой поправкой порядка α.
В рамках фридмановской метрики
ds2 = −dt2 + a(t)2(dx2 + dy2 + dz2),
модифицированные уравнения Фридмана для f(R)-гравитации принимают вид:
$$ 3 H^2 f_R = \frac{1}{2} \big(f_R R - f\big) - 3 H \dot{f_R} + \kappa \rho, $$
$$ -2 \dot{H} f_R = \ddot{f_R} - H \dot{f_R} + \kappa (\rho + p), $$
где H = ȧ/a — параметр Хаббла, ρ и p — плотность и давление вещества.
Ключевой момент: даже без космологической константы можно получить ускоренное расширение Вселенной за счет динамики скалярного поля ϕ = fR(R). Это делает f(R)-теории привлекательными для моделирования темной энергии и ранней инфляции.
Для физической состоятельности f(R)-гравитации необходимо:
Эти условия гарантируют положительную массу скалярного дофильда и отсутствие аномалий в малых возмущениях метрики.
Для анализа гравитационных волн и малых флуктуаций вводится возмущение метрики gμν = ημν + hμν. Уравнения в линейном приближении показывают, что наряду с двумя стандартными поляризациями гравитационных волн появляется дополнительная сжатие/растяжение вдоль направления распространения, связанное со скалярной степенью свободы.
Следствие: эксперименты по гравитационным волнам и слабой линзированию могут ограничивать формы функции f(R).
Эти модели демонстрируют гибкость f(R)-гравитации в описании различных космологических эпох и астрономических феноменов, начиная от инфляции и заканчивая структурой галактик.